通过将每个元素交换不超过 k 个位置来置换 n 个元素

Question

我拥有的是一个向量（示例中为 n = 4）：

x = '0123';

我想要的是一个与 x 大小相同且具有与 x 中相同元素但顺序不同的向量 y：

y = ['0123'; '0132'; '0213'; '0231'; '0312'; '0321'; '1023'; '1032'; '1203'; '1302'; '2013'; '2031'; '2103'; '2301'];
y(ceil(rand * numel(y(:, 1))), :)

即一个排列，使得 y 中的每个元素相对于其在 x 中的原始位置（在示例中为 k = 2）随机更改不超过 k 个位置。概率分布必须是均匀的（即每个排列必须同样可能发生）。

一种明显但低效的方法当然是找到一个随机的无约束排列，并事后检查这是否符合约束。对于小向量，您可以找到所有排列，删除那些不允许的排列，然后在剩余的排列中随机选择。 关于如何更有效地执行相同操作的任何想法，例如通过实际交换元素？

Answer 1

使用约束编程可以轻松生成所有排列。这是上面示例使用MiniZinc 的简短模型（请注意，我们假设 x 将包含 n 个不同的值）：

include "globals.mzn";

int: k = 2;
int: n = 4;
array[1..n] of int: x = [0, 1, 2, 3];
array[1..n] of var int: y;

constraint forall(i in 1..n) (
    y[i] in {x[i + offset] | offset in -min(k, i-1)..min(k, n-i)}
  );

constraint all_different(y);

solve :: int_search(y, input_order, indomain_min, complete)
  satisfy;

output [show(y)];

在大多数情况下，约束规划系统可以使用随机搜索。但是，这不会为您提供结果的均匀分布。然而，使用 CP 将比简单方法（生成并测试有效性）更有效地生成所有有效排列。

如果您需要有效地生成随机排列，我认为可以修改标准Fisher-Yates shuffle 以直接处理它。标准算法使用数组的其余部分从中选择下一个值，并选择具有均匀概率分布的值。应该可以只保留当前有效选择的列表，并更改值的概率分布以匹配所需的输出。

Answer 2

除了你提到的拒绝方法，我没有看到任何其他方法。但是，与其列出所有允许的排列然后选择一个，不如避免该列表更有效。因此，您可以随机生成一个排列，检查它是否有效，如果不是则重复：

x = '0123';
k = 2;

n = numel(x);
done = 0;
while ~done
    perm = randperm(n);
    done = all( abs(perm-(1:n)) <= k ); %// check condition
end
y = x(perm);