什么是等效类？

Question

令 A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} 和 R 是 A 上的关系如下：

R={(a,a), (f,c), (b,b), (c,f), (a,d), (c,c), (c,i), (d ,a), (b,e), (i,c), (e,b), (d,d), (e,e), (f,f), (g,g), (h,h ), (i,i), (h,e), (a,g), (g,a), (d,g), (g,d), (b,h), (h,b), (e,h), (f ,i), (i,f)}

我知道这是对称、传递和自反的等价关系，但我对等价类感到困惑？什么是等价类？ 如何找到关系的等价类？

Answer 1

正如您所说，等价关系是一种对称、自反和传递的关系。这些术语的定义如下：

对称：

给定 A 中的 a,b，如果 a = b 则 b = a。

反身：

给定 A 中的 a，a = a。

传递：

给定 A 中的 a,b,c，如果 a = b 且 b = c，则 a = c。

使用这些定义，我们可以看到您问题中设置的 R 关系确实是 A 上的等价关系。这是因为对于 A 中的每个 a、b、c：

a = a，在R中用(a,a)表示

如果a = b，则b = a，表示为(b,a)和(a,b)都在R中

如果 a = b 且 b = c，则 a = c，在 R 中由 (a,b)、(b,c) 和 (a,c) 表示。

您可以检查以确保这是真的，但我很确定这是真的。这就是使 R 成为等价关系的原因。一旦我们定义了等价关系，我们就可以定义一个等价类，如下所示：

集合中在给定等价关系下相等的所有元素的集合。在正式符号中，{x in S | x -> a}，其中->是等价关系。