渲染分形：莫比乌斯变换和牛顿盆地

Question

我了解如何渲染（二维）“逃逸时间组”分形（Julia 和 Mandelbrot），但我似乎无法渲染莫比乌斯变换或牛顿盆地。

我正在尝试使用相同的方法来渲染它们（通过在每个像素“n”次上递归使用多项式方程），但我感觉这些分形是使用完全不同的方法渲染的。莫比乌斯“变换”意味着图像必须已经存在，然后被变换以产生几何图形，牛顿盆地似乎绘制了每个点，而不仅仅是落入集合的点。

这些分形是如何绘制的？它们是否使用与 Julia 和 Mandelbrot 相同的迭代方法绘制图形？

我正在使用的方程式：

Julia: Zn+1 = Zn^2 + C

其中 Z 是表示像素的复数，C 是复数常数（正确）。

Mandelbrot: Cn+1 = Cn^2 + Z

其中 Z 是表示像素的复数，C 是复数 (0, 0)，每一步都复合（Julia 的反面，正确）。

Newton Basin: Zn+1 = Zn - (Zn^x - a) / (Zn^y - a)

其中 Z 是表示像素的复数，x 和 y 是不同度数的指数，a 是复数常数（不正确 - 创建一个居中的八足“线星”）。

Mobius Transformation: Zn+1 = (aZn + b) / (cZn + d)

其中 Z 是表示像素的复数，a、b、c 和 d 是复数常数（不正确，一切都在集合中）。

那么牛顿盆地和莫比乌斯变换是如何绘制在复平面上的呢？

更新：莫比乌斯变换就是这样；转变。

"Every Möbius transformation is
a composition of translations,
rotations, zooms (dilations) and
inversions."

要执行 Mobius 变换，形状、图片、涂抹等必须已经存在才能对其进行变换。

现在牛顿盆地怎么样？

更新 2：我对牛顿盆地的数学计算是错误的。等式末尾的分母是（假设是）原函数的导数。该功能可以通过研究 MIT MatLab 源代码中的“NewtonRoot.m”来理解。搜索引擎可以很容易地找到它。不过，我仍然不知道如何在复平面上绘制它......

牛顿盆地：

f(x) = x - f(x) / f'(x)

Answer 1

在 Mandelbrot 和 Julia 中，如果内循环超过某个阈值，则终止内循环作为轨道“到达”无穷大的速度

if(|z| > 4) { stop }

对于牛顿分形，情况正好相反：由于牛顿法通常会收敛到某个值，我们感兴趣的是它以多快的速度达到其极限，这可以通过检查两个连续值的差何时降至 a 以下来完成某个值（通常 10^-9 是一个不错的值）

if(|z[n] - z[n-1]| < epsilon) { stop }