使用 OpenGL 或 D3D 绘制椭圆的有效方法

Question

有一种快速的方法可以像这样画圆

void DrawCircle(float cx, float cy, float r, int num_segments) 
{ 
    float theta = 2 * 3.1415926 / float(num_segments); 
    float c = cosf(theta);//precalculate the sine and cosine
    float s = sinf(theta);
    float t;

    float x = r;//we start at angle = 0 
    float y = 0; 

    glBegin(GL_LINE_LOOP); 
    for(int ii = 0; ii < num_segments; ii++) 
    { 
        glVertex2f(x + cx, y + cy);//output vertex 

        //apply the rotation matrix
        t = x;
        x = c * x - s * y;
        y = s * t + c * y;
    } 
    glEnd(); 
}

我想知道是否有类似的方法来绘制椭圆，其中长轴/短轴矢量和大小都是已知的。

Answer 1

如果我们以您为例，我们可以使用 1 的内部半径并分别应用水平/垂直半径以获得椭圆：

void DrawEllipse(float cx, float cy, float rx, float ry, int num_segments) 
{ 
    float theta = 2 * 3.1415926 / float(num_segments); 
    float c = cosf(theta);//precalculate the sine and cosine
    float s = sinf(theta);
    float t;

    float x = 1;//we start at angle = 0 
    float y = 0; 

    glBegin(GL_LINE_LOOP); 
    for(int ii = 0; ii < num_segments; ii++) 
    { 
        //apply radius and offset
        glVertex2f(x * rx + cx, y * ry + cy);//output vertex 

        //apply the rotation matrix
        t = x;
        x = c * x - s * y;
        y = s * t + c * y;
    } 
    glEnd(); 
}

Answer 2

openGL没有办法画曲线，只能画很多直线。但是如果你使用顶点缓冲对象，那么你就不必将每个顶点都发送到显卡上，这样会快得多。

My Java Example

Answer 3

如果椭圆为 ((x-cx)/a)^2 + ((y-cy)/b)^2 = 1，则将 glVertex2f 调用更改为 glVertext2d(a*x + cx, b*y + cy);

为了简化求和，我们暂时假设椭圆以原点为中心。

如果旋转椭圆使得长半轴（长度为 a）与 x 轴形成角度 theta，则椭圆是点 p 的集合，因此 p' * inv(C) * p = 1，其中 C 是矩阵 R(theta) * D * R(theta)' 其中 ' 表示转置，D 是具有条目 a*a,b*b 的对角矩阵（b 是短半轴的长度）。如果 L 是 C 的 cholesky 因子（例如 here），则椭圆是点 p 的集合，因此 (inv(L) * p)'*(inv(L) *p ) = 1，因此 L 映射单位圆到椭圆。如果我们将 L 计算为 ( u 0 ; v w) （仅一次，在循环之前），则 glVertexf 调用变为 glVertex2f( u*x + cx, v*x + w*y + cy);

L 可以这样计算（其中 C 是 cos(theta)，S 是 sin(theta)）：

u = sqrt(C*C*a*a + S*S*b*b); v = C*S*(a*a-b*b); w = a*b/u;