【问题标题】：Reversible pseudo-random sequence generator可逆伪随机序列发生器
【发布时间】：2010-05-26 08:55:31
【问题描述】：

我想要某种方法来创建一个相当长随机数序列，我可以前后翻阅。就像一台带有“下一个”和“上一个”按钮的机器，它会给你随机数。

像 10 位分辨率（即 0 到 1023 范围内的正整数）之类的东西就足够了，一个 >100k 数字的序列就足够了。这是一个简单的游戏类型应用程序，我不需要加密强度随机性或任何东西，但我希望它感觉相当随机。我有一个有限的内存可用，所以我不能只生成一大块随机数据并通过它。我需要在“交互时间”中获取数字——我可以轻松地花几毫秒思考下一个数字，但不会比这更舒服。最终它将在某种微控制器上运行，可能只是一个 Arduino。

我可以用一个简单的线性同余生成器 (LCG) 来做到这一点。向前走很简单，向后走我必须缓存最近的数字并每隔一段时间存储一些点，这样我就可以从那里重新创建序列。

但也许有一些伪随机生成器可以让你前进和前进？应该可以连接两个线性反馈移位寄存器 (LFSR) 以向不同方向滚动，不是吗？

或者也许我可以通过使用某种散列函数来混淆索引号？我要先试试。

还有其他想法吗？

【问题讨论】：

为什么不直接使用页面索引作为种子？

标签： reverse arduino random prng

【解决方案1】：

散列

至少在游戏中，散列函数可能会做你想做的事。你可以这样做

class ReversibleRNG {
    int x;
public:
    ReversibleRNG(int seed) : x(seed) {}
    int next(){return yourFavoriteHash(++x);}
    int prev(){return yourFavoriteHash(--x);}
};

可逆线性同余生成器 (lcg)

正如多人指出的那样，lcg 确实是可逆的。在 lcg 中，下一个状态的计算方式如下：

x = (a * prevx + c) mod m

我们可以重新排序：

x ≡ a * prevx + c (mod m)
x - c ≡ a * prevx (mod m)

由于在 lcg 中 a 和 m 被选为互质，我们可以使用扩展的欧几里得算法求逆。

ainverse = extEuclid(a, m).x;
ainverse * (x - c) ≡ ainverse * a * prevx (mod m)
ainverse * (x - c) ≡ prevx (mod m)

这意味着

prevx = ainverse * (x - c) mod m

如果仔细选择m和a，算法可以有2^64的周期

实施

我做了一个header-only implementation of this algorithm，以防有人感兴趣。

【讨论】：

谢谢@bobbaluba - 我发现这些信息很有帮助。我不太擅长数学，所以我尝试创建一个小虚拟指南来反转模块化函数 - 以防像我这样的人将来遇到这个问题：stackoverflow.com/questions/29569927/…
我的印象是散列顺序整数会导致子随机序列。见stackoverflow.com/a/41728178/225186
感谢@bobbaluba 分享代码。我刚刚尝试执行它，与几乎瞬时的前进步骤相比，计算后退步骤大约需要 1.4 秒。这是真的还是我做错了什么？我认为是扩展的欧几里得算法需要这么多处理时间，是吗？
@Bill：也许你在编译时禁用了优化？ ainverse 是使用常量参数执行的 constexpr 函数的结果，大多数编译器应该足够聪明，可以预先计算是否启用了优化（我在示例中使用带有 -O2 的 g++，这对我来说是即时的）。无论如何，我将上面 repo 中的要求提高到 C++17，它允许 constexpr 变量，我认为这也应该在调试模式下强制编译时间计算。

【解决方案2】：

使用非常简单的对称加密算法是最简单的方法之一。每个随机数都是通过用一些固定密钥加密前一个随机数形成的，然后你只需解密即可。

您可以查看http://en.wikipedia.org/wiki/RC4 的 RC4 - 代码。您可以使用更小的密钥计划来使其完全适合 arduino。

【讨论】：

【解决方案3】：

用任意密码和任意密钥加密序列1, 2, 3, ...。

AES 几乎可以在所有最新的系统上使用，而且速度闪电快。

【讨论】：

【解决方案4】：

只需颠倒整数递增序列中的位顺序即可。例如（8位分辨率）：

0 0
1 128
2 64
3 192
4 32
等

在序列中向前和向后移动非常容易，并且比调用加密或哈希函数要快得多。它还具有生成最长可能序列的好处。

它绝对不是加密安全的。这是生成值的散点图（同样是 8 位分辨率）：

您可以很容易地看到模式，尽管它可能对您来说足够“随机”。

【讨论】：

我没有数学证明，但结果序列看起来像是“次随机”的。 en.wikipedia.org/wiki/Low-discrepancy_sequence 。在许多应用中仍然很有用。
@alfC 我的图片确实看起来像Hammersley set 和Wolfram says，您可以通过颠倒位的顺序来生成该集合——我认为这证明您是对的。感谢您的链接！
没错，事实上即使是随机的，也不仅仅是可逆/双向的，而是具有“随机访问”的随机序列。我一直想知道这样的事情是否存在。即在 O(1) 中跳过 N 个随机数（任意方向）。
@alfC 如果你想要的只是 O(1) 生成伪随机序列中的第 i 个数字，并且你不关心它的可逆性，那么 r(i, seed) = hash(i + 种子）可以解决问题；只需选择您最喜欢的哈希函数
是的，但这将是次随机的，而不是随机的。我不怀疑 subrandom 是随机访问（O(1) 跳转）。我的问题是是否有随机访问的随机序列。

【解决方案5】：

如果线性同余生成器足够好，请使用它。它们很容易可逆。关键是反向发生器也是LCG。 LCG 还可以非常快速地向任何方向（向前和向后）跳跃。

详情可见The Art of Computer Programming - Volume 2

特别是第 3.2.1 页第 10 页 TAOCP 的公式 6-8 和练习 5 给出了预期的结果。如果您无法解决该练习，您可以轻松找到解决方案，例如here

【讨论】：

【解决方案6】：

虽然我同意 @BlueRaja 的观点，即您应该只在“计数器模式”下使用 AES，并为您的序列随机或基于时间开始，但 AES 在您的嵌入式情况下可能不可用或不可行。

我确实找到了讨论如何构建可逆 PRNG 的 this interesting paper；它只有 10 页，并且有大量的代码示例。如果 AES 对您不起作用，请尝试一下。

【讨论】：

【解决方案7】：

你也可以用 LCG 倒退，它只是另一个 LCG，它使用乘数的倒数模模，加上一个合适的增量。

对于您的小数字，您可以使用蛮力来搜索逆，通常可以使用扩展的 GCD 算法来计算。

除非您的游戏完全是为了好玩，不涉及任何类型的赌注，否则我会选择加密安全的东西，例如其他人建议的 AES 方法。 LCG 和其他线性随机数生成器无法抵御智能对手。

【讨论】：