给定点的贝塞尔曲线梯度

Question

我似乎无法弄清楚如何计算以下情况下的曲线倾斜度...

基本上我想做的是根据曲线在特定点的倾斜度来增加物体的速度。上坡速度减慢，下坡速度增加。

我使用贝塞尔曲线上点 t 的导数来建立切线，但这似乎不正确，因为如果斜率向下，我预计该值是负数。

我一直使用下面的等式作为切线来评估 X、Y 和 Z，但后来我只使用 Y 来确定倾斜度...我认为这一步可能是错误的

有什么想法吗？

编辑：

最终这是一个沿倾斜平面移动的物体，但我无法确定平面的角度来做到这一点，我相信如果我能正确找到角度，它可能会解决问题。我试图取一个有问题的点，然后是前面的另一个点（例如 t = 0.5，然后前面的一个点是 t=0.51），然后使用 tan 计算角度。我完全忽略了 Z 轴，但这是错的吗？如果不是，我应该如何计算角度？

非常感谢

Answer 1

这应该会有所帮助：http://www.physicsclassroom.com/Class/vectors/U3L3e.cfm。

本质上，您需要计算倾斜角度。如果角度是 \theta ，那么加速度取决于 sin(\theta)。

我假设 z 为垂直维度。

如果 dx,dy 和 dz 是每个方向的梯度，则 dw = sqrt(dx^2+dy^2)。 \theta = tan_inverse(dz/dw)。加速度 = g*sin(\theta)。

注意：您可以直接计算 sin(\theta) 而无需显式计算 \theta。 sin(\theta) = dz/sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)。

=== 更正式的描述 ===

设x为东西向维度，y为南北向维度，z为上下维度。

让 z = F(x,y) 给出任意给定位置 x,y 的地形高程。

计算 dz/dx = fx(x,y) 和 dz/dy = fy(x,y)，z w.r.t 对 x 和 y 的偏导数。

现在，sin(\theta) = dz/sqrt(dx^2+dy^2+dz^2) = 1/(sqrt( (dx/dz)^2+ (dy/dz)^2 )= 1/(sqrt((1/fx(x,y))^2, (1/fy(x,y))^2)。

这就是你计算 sin(\theta) 的方式。

Answer 2

1. 当斜率“向下”时，导数为负值。是的，推导是斜角的正切。只有你应该注意方向。当然，他们可以更改标志。只有你应该服用 dy/dx，而不是 dy/其他东西。这都是在二维曲线上。

2. 您在最后一段中提到了 Z。你的曲线是3D的？那么，当然，“推导”一词应该更准确地说。推导你需要什么？第二个想法是 - 请更好地解释一下，你想要什么。顺便说一句，也许在你正确地写下任务之后，你会发现解决方案很明显。

如果是 3D，假设你的曲线是 x(t)、y(t)、z(t) 的 3 个函数。那么你需要 dz/dq，其中 dq= dt*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)。很明显，不是吗？ 正如我所说，这里没有数学。仅仅是毕达哥的定理和比例。 （我以z为高度）

加法： tan(a)=dz/(dt*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)) => tan(a)=(dz/dt )/sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)) ==> a=ATAN((dz/dt)/sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^ 2))。但请注意您正在移动的方向！他们可以反转标志。对于在 sqrt(^2+^2) 下我们失去了 dt proection 的方向。