具有分类约束的线性优化

Question

我正在尝试根据比赛水平优化球员阵容，基于最大化单个统计数据（在下面的示例中为积分）。对于给定的阵容，有 2 名球员与一个比赛级别进行匹配。这是我的 DataFrame 的一个示例（这只是一个示例，我的实际 DataFrame 的播放器比这多得多）：

              Comp Level    Points    Minutes Played    
Player A       Elite         10.1          22
Player A       Middle        -5            22
Player A       Low           7.2           22
Player B       Elite         0.8           20
Player B       Middle        5.6           20
Player B       Low           2.2           20          
Player C       Elite        -7.2           18
Player C       Middle        3.3           21
Player C       Low           6.6           23
Player D       Elite        -7.2           18
Player D       Middle        3.3           21
Player D       Low           6.6           23
Player E       Elite        -7.2           18
Player E       Middle        3.3           21
Player E       Low           6.6           23
Player F       Elite        -7.2           18
Player F       Middle        3.3           21
Player F       Low           6.6           23

优化后的阵容将最大化整个阵容的总分（每个球员的总分）。约束是： 1. 同一个选手不能在多个比赛级别上使用（例如选手A与精英级别配对，则不能与中低级别对战）。 2. 每个阵容对的出场时间值必须在 10% 以内（例如，球员 A 可以与精英级别的球员 B 配对，但不能与球员 C 配对）。

我希望我的输出看起来像这样：

Line up:
Elite: Player A and B
Middle: Player C and Player D
Low: Player E and Player F
Team Total Points: X

我从创建 DataFrame 开始，并考虑使用 PuLP 进行此优化。我正在努力解决的部分是添加我的目标函数和问题的适当约束。

这是我目前的代码：

prob = LpProblem('LineUp Optimization', LpMaximize)
players = list(data['Name'])
# print('The Players under consideration are \n' + '-'*100)
# for x in players:
#     print(x, end=',\n ')

costs = dict(zip(players, data['Points']))
comp_levels = dict(zip(players, data['Competition Level']))
Minutes = dict(zip(players, data['Minutes Played']))
ozs = dict(zip(players, data['OZS%']))

player_var = LpVariable.dicts('Players', players, 0, cat='Integer')

任何关于我的约束在此 PuLP 优化中的样子的帮助/指导将不胜感激！

Answer 1

如果我正确理解您的问题，您需要为精英、中级和低级比赛级别选择一对球员。

您可以通过多种方式来表述这个问题。对我来说最明显的是有一组二进制变量来指示每个玩家是否（1）或不是（0）为每个级别的比赛选择：

player_var = LpVariable.dicts('player_var', (players, comp_levels), cat='Binary')

您的目标是最大化所包含玩家的总分：

prob += lpSum([player_var[p, l]*points[p, l] for p in players for l in comp_levels])

然后你需要设置每个级别应该选择两个玩家的约束：

for l in comp_levels:
    prob += lpSum([player_var[p, l] for p in players]) == 2

并且一名球员最多可以参加一个比赛级别：

for p in players:
    prob += lpSum([player_var[p, l] for l in comp_levels]) <= 1

并且满足您在所选级别的配对上场时间的 10% 规则。最后一个有点意思。我确信有一种更有效的方法可以做到这一点，但我在下面所做的应该可以工作......我认为。

for l in comp_levels:
    for p in players:
        prob += minutes[p, l]*player_var[p,l] <= 1.1*lpSum([minutes[p,l]*player_ver[other_p,l] for other_p in players if other_p != p])

这会为每个比赛级别和每个玩家创建一个约束，但是如果没有选择玩家在该级别（player_var[p,l] == 0）进行比赛，那么约束应该没有影响 - 左侧的术语将为 0。

如果玩家被选中 (player_var[p,l] == 1)，则约束确保被选中的玩家的上场时间不超过对手的 10% - 请注意，右手沙子对所有其他玩家求和，但只有其中一位将非零。

没有进行检查以确保所选球员至少有 90% 的时间在他们的对手身上 - 但是当这个限制应用于他们的对手时，这种情况就会被涵盖。

我敢肯定，有人可以提出一种更有效/更优雅的方法......