如何获得矩阵的所有可能的置换矩阵

Question

我需要为一个矩阵创建所有可能的置换矩阵，其中每个置换矩阵在每列和每行中仅包含一个 1，在所有其他位置包含 0。

例如，(1) 中的示例是 2x2 矩阵的所有可能置换矩阵，(2) 中的示例是 3x3 矩阵的所有可能置换矩阵，依此类推

那么如何在 MATLAB 中获取矩阵 NxN 的这些矩阵并将它们存储到一个三维矩阵中？

Answer 1

这是我的解决方案，使用 implicit expansion（使用 Octave 5.2.0 和 MATLAB Online 测试）：

n = 3;

% Get all permutations of length n
p = perms(1:n);

% Number of permutations
n_p = size(p, 1);

% Set up indices, where to set elements to 1
p = p + (0:n:n^2-1) + (0:n^2:n^2*n_p-1).';

% Set up indices, where to set elements to 1 (for MATLAB R2016a and before)
%p = bsxfun(@plus, bsxfun(@plus, p, (0:n:n^2-1)), (0:n^2:n^2*n_p-1).');

% Initialize 3-dimensional matrix
a = zeros(n, n, n_p);

% Set proper elements to 1 
a(p) = 1

n = 3 的输出：

a =

ans(:,:,1) =

   0   0   1
   0   1   0
   1   0   0

ans(:,:,2) =

   0   1   0
   0   0   1
   1   0   0

ans(:,:,3) =

   0   0   1
   1   0   0
   0   1   0

ans(:,:,4) =

   0   1   0
   1   0   0
   0   0   1

ans(:,:,5) =

   1   0   0
   0   0   1
   0   1   0

ans(:,:,6) =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1

Answer 2

使用repelem、perms 和reshape：

n   = 3;                                 % matrix size 
f   = factorial(n);                      % number of permutation
rep = repelem(eye(n),1,1,f)              % repeat n! time the diagonal matrix
res = reshape(rep(:,perms(1:n).'),n,n,f) % indexing and reshaping

res 在哪里：

res =

ans(:,:,1) =

   0   0   1
   0   1   0
   1   0   0

ans(:,:,2) =

   0   1   0
   0   0   1
   1   0   0

ans(:,:,3) =

   0   0   1
   1   0   0
   0   1   0

ans(:,:,4) =

   0   1   0
   1   0   0
   0   0   1

ans(:,:,5) =

   1   0   0
   0   0   1
   0   1   0

ans(:,:,6) =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1

根据您的评论：

我需要做的是将矩阵即 Z 与所有可能的 置换矩阵并选择该置换矩阵 得到 tr(Y) 最小值；其中 Y 是乘法的结果 Z 与置换矩阵。我认为我不需要生成所有 置换矩阵并将它们存储在这样的变量中，我可以生成 他们一一得到乘法的结果。那可能吗 ?

您正在尝试解决分配问题，您可以使用众所周知的hungarian algorithm 在多项式时间内解决此任务。无需生成置换矩阵的 googleplex。