排列组合题（3*n板）

Question

我有一个问题： 找出可以使用 3 种颜色绘制 3×n 板的总方法数，同时确保同一行或同一列的任何单元格都没有完全相同的颜色。答案必须以 10^9+7 为模。

这里也有人回答了。 https://math.stackexchange.com/questions/3215805/coloring-a-3-times-n-board-using-3-colors

但我看不懂，你能用简单的语言解释一下吗？

Answer 1

为了理解一般原理，让我们看一个只有两列的情况。将颜色命名为红色、绿色和蓝色。

对于满足条件的列：每个单元格可以有 3 种颜色中的一种，有 3 个单元格，总共 3^3=27 种可能的颜色。其中，3个是单色的（一红一绿一蓝）。减去不允许的颜色：一列有 27-3=24 种可能性。仅考虑列，板有 24^n 种颜色。

现在，让我们看看不允许的行。对于单色行，有 3 种颜色和 3 种可能的行可供选择。对于这 9 种可能性中的每一种，每列可以用 8 种可能的方式着色。这意味着需要删除 9x8^n 行。下图显示了没有列是单色的每个可能的板。要删除的 9x8^2=576 行用黑线表示：

如果我们现在从总数中减去被涂黑的行数，我们减去的太多了：有些板有两行坏行，有些甚至是三行。

因此，必须再次添加具有两个坏行的板数。它们的总数是 3x3x2^n + 3x6x3^n。第一项计算两个颜色相同的坏行的情况：非坏行的 3 个位置，坏行的 3 种颜色，非坏行的每个单元格的 2 个剩余颜色。第二项计算两个不同颜色的坏行的情况：非坏行有 3 个位置，坏行有 6 种可能的颜色，非坏行的每个单元格有 3 种可能的颜色。

有 24 个板子，三个坏行在第二步被减去 3 次，在第三步又被加了 3 次。现在必须从总数中减去它们。

所以，正如the linked post 中所解释的，一般公式为：

24^n − 9×8^n + 18×3^n+9×2^n − 24

给出从 1 开始的 n 的值 0, 174, 9750, 296490, 7672350, 188757354, 4567637550, 109924439610, 2640599939550, 63393718361034, ...。

或模 10^9+7：

0, 174, 9750, 296490, 7672350, 188757354, 567637522, 924438847, 599921070, 717917283, ...