递归算法将所有组合分为两组

Question

我需要一个算法，给定偶数个元素，对分为两组的元素的所有组合执行评估。组内的顺序无关紧要，因此不应重复组内的排列。具有 N=4 个元素的示例是评估

e(12,34), e(13,24), e(14,32), e(32,14), e(34,12), e(24,13)

我以为我有它，递归算法可以在 N=6 下工作，但结果证明它在 N=8 时失败。这是算法（这个版本只是打印出两组；在我的实际实现中它会执行一个计算）：

// Class for testing algoritm
class sym {

    private:
    int N, Nhalf, combs;
    VI order;
    void evaluate();
    void flip(int, int);
    void combinations(int, int);

    public:
    void combinations();

    sym(int N_) : N(N_) {
        if(N%2) {
           cout "Number of particles must divide the 2 groups; requested N = " << N << endl;
           throw exception();
        }
        Nhalf=N/2;
        order.resize(N);
        for(int i=0;i<N;i++) order[i]=i+1;  
    }

    ~sym() {
        cout << endl << combs << " combinations" << endl << endl;
    }
};

// Swaps element n in group 1 and i in group 2
void sym::flip(int n, int i) {
    int tmp=order[n];
    order[n]=order[i+Nhalf];
    order[i+Nhalf]=tmp;
}

// Evaluation (just prints the two groups)
void sym::evaluate() {
    for(int i=0;i<Nhalf;i++) cout << order[i] << " ";
    cout << endl;
    for(int i=Nhalf;i<N;i++) cout << order[i] << " ";
    cout << endl << "--------------------" << endl;
    combs++;
}

// Starts the algorithm
void sym::combinations() {
    cout << "--------------------" << endl;
    combinations(0, 0);
} 

// Recursive algorithm for the combinations
void sym::combinations(int n, int k) {
    if(n==Nhalf-1) {
        evaluate();
        for(int i=k;i<Nhalf;i++) {
            flip(n, i);
            evaluate();
            flip(n, i);
        }
        return;
    }
    combinations(n+1, k);
    for(int i=k;i<Nhalf;i++) {
        flip(n, i);
        combinations(n+1, k+i+1);
        flip(n, i);
    }
}

如果我以 N=2 为例，我得到正确的结果

--------------------
1 2 
3 4 
--------------------
1 3 
2 4 
--------------------
1 4 
3 2 
--------------------
3 2 
1 4 
--------------------
3 4 
1 2 
--------------------
4 2 
3 1 
--------------------

6 combinations

但似乎 N>6 不起作用。是否有一个简单的改变可以解决这个问题，还是我必须重新考虑整个事情？

编辑：最好每次更改只涉及交换两个元素（如上面失败的尝试）；因为我认为这最终会使代码更快。

编辑：刚刚意识到它对于 N=6 也失败了，草率的测试。

Answer 1

std::next_permutation 可能会有所帮助（无需递归）：

#include <iostream>
#include <algorithm>

template<typename T>
void do_job(const std::vector<T>& v, const std::vector<std::size_t>& groups)
{
    std::cout << " e(";
    for (std::size_t i = 0; i != v.size(); ++i) {
        if (groups[i] == 0) {
            std::cout << " " << v[i];
        }
    }
    std::cout << ",";
    for (std::size_t i = 0; i != v.size(); ++i) {
        if (groups[i] == 1) {
            std::cout << " " << v[i];
        }
    }
    std::cout << ")\n";
}

template<typename T>
void print_combinations(const std::vector<T>& v)
{
    std::vector<std::size_t> groups(v.size() / 2, 0);
    groups.resize(v.size(), 1); // groups is now {0, .., 0, 1, .., 1}

    do {
        do_job(v, groups);
    } while (std::next_permutation(groups.begin(), groups.end()));
}

int main()
{
    std::vector<int> numbers = {1, 2, 3, 4};
    print_combinations(numbers);
}

Live Demo

Answer 2

// generate all combination that use n of the numbers 1..k
void sym::combinations(int n, int k) {
   if (n>k) return;  // oops
   if (n==0) { evaluate(); return; }
   combinations(n, k-1);
   order[n-1] = k;
   combinations(n-1,k-1);
}

以combinations(N/2,N) 开始，无需预先初始化order。但按照编码，它只用第一组填充order 的前半部分，您需要发布过程才能获得第二组。

使用适量的额外逻辑，您可以改为在combinations 期间填写后半部分。我认为这样做：

void sym::combinations(int n, int k) {
   if (k==0) { evaluate(); return; }
   if (n>0) {
       order[n-1] = k;
       combinations(n-1,k-1); }
   if (n<k) {
       order[Nhalf+k-n-1] = k;
       combinations(n, k-1); }
}

我认为基于翻转的设计更丑陋。但仔细想想，其实并不难。因此，改回从combinations(0,0) 开始的设计，您可以使用：

// Generate all combinations subject to having already filled the first n
// of the first group and having already filled the last k of the second.
void sym::combinations(int n, int k) {
    if(n==Nhalf) {
        // Once the first group is full, the rest must be the second group
        evaluate();
        return; 
    }
    // Since the first group isn't full, recursively get all combinations
    // That make the current order[n] part of the first group
    combinations(n+1,k);

    if (k<Nhalf) {
      // Next try all combinations that make the current order[n] part of
      // the second group
      std::swap(order[n], order[N-k-1]);
      combinations(n,k+1);
      // Since no one cares about the sequence of the items not yet chosen
      // there is no benefit to swapping back.
    }
}

Answer 3

要递归列出n choose n/2 组合，您可以使用一种算法，将每个值添加到任一组：

f(n,k,A,B):
  if k == 0:
    output A,B with {n,n-1..1}
  else if n == k:
    output A with {n,n-1..1},B
  else if k > 0:
    f(n-1,k-1,A with n,B)
    f(n-1,k,A,B with n)

示例如下。对于累积堆栈的一半，可以跳过两个第一个递归调用中的一个，并在评估期间反转对的顺序。

f(4,2,[],[])
  f(3,1,[4],[])
    f(2,0,[4,3],[]) => {[4,3],[2,1]}
    f(2,1,[4],[3])
      f(1,0,[4,2],[3]) => {[4,2],[3,1]}
      f(1,1,[4],[3,2]) => {[4,1],[3,2]}
  f(3,2,[],[4])
    f(2,1,[3],[4])
      f(1,0,[3,2],[4]) => {[3,2],[4,1]}
      f(1,1,[3],[4,2]) => {[3,1],[4,2]}
    f(2,2,[],[4,3]) => {[2,1],[4,3]}