（在您回复另一个 SO 问题的链接或将其作为副本关闭之前，请仔细阅读该问题。这与此问题的标准变体不同，我已经搜索了很长时间，所以我很漂亮确定这里没有这样的问题）
我需要找出可能的最小 S 是否是某个 X[i] 的子集的总和，即 >= T （某个目标值，小于全集的总和）。
该集合不是很大（大约 40 个元素），但对于指数回溯解决方案来说仍然太大。
数字和总和很大（大约 10^15），所以动态编程不起作用（可能的状态数量很大，所以记忆表很快就会耗尽内存） .
出于同样的原因，Pisinger 的线性时间算法不起作用（它是 O(nr)，其中 r 是总和的上限，在这种情况下太大了）。
在这种金额大但数字少的情况下，是否有一些确定性算法可以帮助我？我不想求助于一些近似算法。
【问题讨论】：
标签： algorithm optimization subset-sum
鉴于上述条件，我相信使用branch & bound 的回溯解决方案是您获得确切解决方案的最佳机会。
这个想法是检查所有子集，但您可以在算法运行期间为一些可能的子集修剪计算树。
例如，假设您正在寻找S = 10^8，并且您已经找到了sol=10^8 + 10^7 的解决方案，现在，您正在检查作为某些X 超集的所有子集，并且您发现sum(X) = 10^9 .无需继续检查包含 X 的任何子集，您可以直接跳过它们 - 它们不会让您达到最佳状态。
我也会尝试并行化解决方案，分支和绑定通常很容易并行化，只需要偶尔同步一次新的最佳解决方案。
【讨论】：
正如你所说，这个集合不是很大（大约 40 个）。我认为经典的复杂指数时间算法O(2^(n/2) n) 将满足您的需求http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem#Exponential_time_algorithm。
我可以在这里简要介绍一下这种方法。将集合拆分为两个大小相等的集合，例如 A 和 B。并为它们枚举子集总和以生成两组大小 2^(n/2)，例如 PA 和 PB。然后可以对 PA 和 PB 进行排序，并使用二分查找及时找到超过T 的总和O(2^(n/2) n)。
【讨论】：