给定一个由 n 个正整数 a1、a2、... a3 组成的集合 A 和另一个正整数 M，我将找到 A 的一个数的子集，其和最接近 M。换句话说，我' m 试图找到 A 的子集 A' 使得绝对值 |M - ???? Σ a∈A′|被最小化，其中 [ Σ a∈A' a ] 是 A' 的个数的总和。我只需要返回解子集A'的元素之和，而不报告实际的子集A'。
例如，如果我们有 A 为 {1, 4, 7, 12} 并且 M = 15。那么，解子集是 A′ = {4, 12}，因此算法只需要返回 4 + 12 = 16 作为答案。
该问题的动态规划算法应该在 最坏情况下的 O(nK) 时间，其中 K 是所有 A 数的总和。
【问题讨论】：
标签： dynamic-programming knapsack-problem subset-sum
你构建一个大小为 n*K 的动态规划表，其中
D[i][j] = Can you get sum j using the first i elements ?
您可以使用的递归关系是：D[i][j] = D[i-1][j-a[i]] OR D[i-1][j] 如果您认为可以添加或离开第 i 个元素，则可以导出此关系。
时间复杂度：O(nK) 其中 K=所有元素的总和
最后，您迭代整个可能的总和，即 D[n][j] for j=1..K。最接近 M 的将是您的答案。
【讨论】：
对于动态算法，我们
这里的值集实际上是一个表格。
对于这个问题，我们定义值 DP[i , j] 作为我们是否可以使用前 i 个元素获得和 j 的指标。 （1 表示是，0 表示否）
这里0
DP[i+1 , j] = 1 , if ( DP[i,j] == 1 || DP[i,j-A[i+1]] ==1)
否则，DP[i+1, j] = 0。
不要忘记首先将表初始化为 0。这解决了边界和平凡的情况。
计算你想要的值
通过自底向上的实现，最终可以填满整个表格。
现在，事情变得容易了。只需要在表中找出最接近 M 且值为 1 的值即可。
在这里，只需处理 DP[n][j]，因为 n 涵盖了整个集合。找到最接近 M 且值为 1 的 j。
时间复杂度为 O(kn)，因为您总共迭代了 k*n 次。
【讨论】：