我正在做如下编程练习：
有一个盒子和一个项目列表。
盒子有固定的尺寸。每件商品都有自己的尺寸和价格。
如果物品大小的总和小于盒子的大小，我们可以在盒子里放任意数量的物品。 （每件物品只能放一次）。
找出可以放入箱子的物品组合，价格最高。
box: size = 10
| item | size | price |
| ---- | ---- | ----- |
| 1 | 8 | 4 |
| 2 | 10 | 5 |
| 3 | 1 | 2 |
在这种情况下，答案将是 6，因为选择了项目 1 和 3，价格 4 + 2 = 6（尺寸总和为 8，小于 10）
我的方法是执行回溯以找到所有可能的组合并记录最高价格，但我不确定如果列表中有大量项目是否足够有效。
有没有更有效的方法？
【问题讨论】：
是的，有一种更有效的方法！
方法：不是通过评估所有可能的子集来强制解决问题，而是可以针对每个权重的每个项目迭代地解决问题。举个例子：
假设有四个项目 i[1,2,3,4] 关联权重 w[5,3,4,2]、值 v[60,50,70,30] 和最大权重 w = 5。
我们现在将构造一个二维值数组，它保存了选择某项特定权重时的最大值V[i][w]。
填充数组的算法是：
V[i][w] = max(V[i-1, w], V[i-1, w - w_i] + v_i) OTHERWISE V[i-1, w]
这是做什么的？ :
对于每个重量的每个项目，我们首先看是否可以在不超过重量限制的情况下选择项目。如果不是，我们取上述项目在该重量下的值（如果该项目也无法选择，则为 0）。
如果我们可以选择项目，有趣的事情就会发生。如果是这样，如果选择的项大于上面选择项的值，我们选择当前项代替：(So if V[i-1, w] < V[i-1, w - w_i] + v_i)
对所有 n 个项目和 w 个权重执行此操作，您将获得尽可能高的值。 在上述示例中执行算法时，这将是矩阵：
| w | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Item 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 60 |
| Item 2 | 0 | 0 | 0 | 50 | 50 | 60 |
| Item 3 | 0 | 0 | 0 | 50 | 70 | 70 |
| Item 4 | 0 | 0 | 30 | 50 | 70 | 80 |
现在要解决背包问题，我们看看 w = 5 时选择项目的值。我们看到选择项目 4 产生的价值最大。我们还可以看到该值的来源。如果我们选择第 4 项，从权重中减去 2，然后我们落在 w = 3 的列中。然后我们上升一行，因为我们选择了第 4 项并且不能再次选择它。然后我们看了一下第 3 项，但是如果我们从 w = 3 中减去 w_3，我们得到 -1，所以我们知道该列中的值是从上面的行继承的，所以我们查看第 2 行。从w = 3 给出 0，所以我们知道该行/列中的值来自选择第 2 项。这最终告诉我们，值 80 是通过选择第 2 项然后选择第 4 项获得的。
与蛮力方法的 O(2 ^ N) 相比，运行它的复杂度是 O(N * W)。
【讨论】：
N 和W？这是伪多项式，对吧？
这正是0/1 knapsack problem。确实尝试所有组合都可以解决问题，但是如果要超过 50 个项目，这将花费很长时间。
这个问题是 NP-完全的，但它可以用伪多项式求解。也就是说，如果盒子的总大小相对较小，则可以有效地解决。
【讨论】：