我们有 N 个三元组，比如
1. { (4; 0,1), (5 ; 0.3), (7; 0,6) }
2. { (7; 0.2), (8 ; 0.4), (1 ; 0.4) }
...
N. { (6; 0.3), (1; 0.2), (9 ; 0.5) }
并且需要从每个三元组中只选择一对，这样第一个成员的总和将是最小的，而且我们还有一个条件是第二个成员的总和必须不小于给定的 P号码。
我们可以通过使用它们的第一个成员的总和（3 ^ N 个组合）对所有可能的对组合进行排序来解决这个问题，并在该排序列表中选择第一个也满足第二个条件的组合。 您能否帮忙提出一个更好、更重要的解决方案来解决这个问题？
【问题讨论】：
标签： algorithm combinations combinatorics
如果您的三元组中的值没有限制，那么我们将面临一个非常通用的integer programming problem 版本，更具体地说是一个 0-1 线性规划问题，因为它可以表示为一个方程组，每个系数为 0 或 1。您可以在 wiki 页面上找到可能的方法，但通常没有快速简便的解决方案。
或者，如果每对的第二个数字（需要总和为>= P 的数字）的范围足够小，我们可以将其视为类似于Knapsack 问题的动态编程问题。 “足够小”有点难以定义，因为原始数据具有非整数。如果它们是整数，那么我将描述的解决方案的算法复杂度是O(P * N)。对于非整数，首先需要通过将它们全部以及P 乘以足够大的数字将它们转换为整数。在您的示例中，每个数字的精度是零后的 1 位，因此乘以 10 就足够了。因此，实际复杂度为O(M * P * N)，其中 M 是所有内容乘以得到整数的因子。
在此之后，我们实质上是在解决一个修改后的背包问题：我们不是从上方约束重量，而是从下方约束它，并且在每一步中，我们从三元组中选择一对，而不是决定是否放置是否将物品放入背包。
让我们定义一个函数minimum_sum[i][s]，它的值i, s表示如果到目前为止所取的成对中的第二个数字的总和等于@，我们可以实现的最小可能总和（我们取的每一对中的第一个数字） 987654329@ 我们已经考虑了第一个i 三元组。此定义的一个例外是minimum_sum[i][P] 也具有超过P 的所有总和的最小值。如果我们可以计算这个函数的所有值，那么minimum_sum[N][P] 就是答案。函数值可以这样计算：
minimum_sum[0][0]=0, all other values are set to infinity
for i=0..N-1:
for s=0..P:
for j=0..2:
minimum_sum[i+1][min(P, s+B[i][j])] = min(minimum_sum[i+1][min(P, s+B[i][j])], minimum_sum[i][s] + A[i][j]
A[i][j] 此处表示第 i 个三元组的第 j 对中的第一个数，B[i][j] 表示同一三元组的第二个数。
如果N 很大，但P 很小并且Bs 上的精度不太高，则此解决方案是可行的。例如，如果N=50，则几乎没有希望计算3^N 的可能性，但对于M*P=1000000，这种方法会运行得非常快。
上述想法的Python实现：
def compute(A, B, P):
n = len(A)
# note that I use 1,000,000 as “infinity” here, which might need to be increased depending on input data
best = [[1000000 for i in range(P + 1)] for j in range(n + 1)]
best[0][0] = 0
for i in range(n):
for s in range(P+1):
for j in range(3):
best[i+1][min(P, s+B[i][j])] = min(best[i+1][min(P, s+B[i][j])], best[i][s]+A[i][j])
return best[n][P]
测试：
A=[[4, 5, 7], [7, 8, 1], [6, 1, 9]]
# second numbers in each pair after scaling them up to be integers
B=[[1, 3, 6], [2, 4, 4], [3, 2, 5]]
In [7]: compute(A, B, 0)
Out[7]: 6
In [14]: compute(A, B, 7)
Out[14]: 6
In [15]: compute(A, B, 8)
Out[15]: 7
In [20]: compute(A, B, 13)
Out[20]: 14
【讨论】：