生成所有加起来为特定数字的唯一数字组合

Question

我正在编写一个程序来尝试解决数学问题。我需要生成一个所有数字的唯一列表，这些数字加起来是另一个数字。例如，所有 4 个数字加起来为 5 的唯一组合是：

5 0 0 0
4 1 0 0 
3 2 0 0
3 1 1 0
2 2 1 0
2 1 1 1

这在 perl 中很容易暴力破解，但我正在使用 C 语言并希望找到更优雅的解决方案。

在 perl 中，我会在每列中生成数字 0-N 的所有可能组合，丢弃不加起来等于目标数字的数字，然后对每行中的数字进行排序并删除重复的行。

我整个上午都在尝试用 C 语言编写它，但似乎无法找到令人满意的解决方案。我需要它达到最大 N 约为 25。你们有什么想法吗？

这是我一直在尝试的一种示例（这会产生重复的组合）：

// target is the number each row should sum to.
// Don't worry about overflows, I am only using small values for target
void example(int target)
{

  int row[4];

  for (int a=target; a>=0; a--) {
    row[0] = a;

    for (int b=target-a; b>=0; b--) {
      row[1] = b;

      for (int c=target-(a+b); c>=0; c--) {
        row[2] = c;

        row[3] = target-(a+b+c);

        printf ("%2d %2d %2d %2d   sum: %d\n", row[0],row[1],row[2],row[3],
                                          row[0]+row[1]+row[2]+row[3]);
      }
    }
  }
}

Answer 1

这称为partition problem，并讨论了here、here 和here 的方法。

Answer 2

如果列数是固定的，最简单的方法是让数字不递减。

void example(int target) {
  for (int a=0;a<=target;a++)
    for (int b=a;b<=target-a;b++)
      for (int c=b;c<=target-(a+b);c++) {
        int d = target-(a+b+c);
        if(d>=c) printf ("%2d %2d %2d %2d\n",d,c,b,a);
      }
}

对于更一般的情况，首选递归搜索。但不管怎样，这个问题的瓶颈是输出，不算。

Answer 3

请注意，您不需要任何 b>a 或任何 c>b。你可以在你的程序中这样说

for (b ...) {
    if (b > a) continue; /* continue bypasses the following code and
                          * return control to the loop */
    /* ... */
}

另外，你不想要任何负面的row[3]。

Answer 4

按排序顺序生成列表，您不必担心删除重复项。

提示：a = (target .. 0), b = (a .. 0), c = (b .. 0), d = (c .. 0)

Answer 5

数字不大于 25，递归解决方案可能没问题。伪代码：

function get_summand_list(number)
{
    if number == 0: return empty list

    for first from number downto 1
    {
        combination = [first_number] + get_summand_list(number - first)
    }
    return all combinations
}

Answer 6

为了有效地解决这个问题（取模它是一个指数问题），您希望以一种非冗余的方式搜索空间，并修剪不可能的解决方案，或不能导致可能解决方案的部分解决方案，尽快。

最简单的方法是使用递归过程来做到这一点。请注意，如上面的海报所述，您始终可以按排序顺序生成列表，以避免生成重复。因此，您的选择必须始终大于（或小于）最后选择的元素。

此外，要选择的剩余 x min 元素的总和加上当前总数必须小于您的目标值。 IE。如果你选择了加起来为 20 的数字，你必须再选择 3 个元素，你必须让它加起来为 25，而唯一的选择是 1、2 和 3，那么你就不会能够完成列表（它将加起来为 26），因此您可以修剪该解决方案。

所以，在你的递归解决方案中，

1. 检查您是否正在寻找可行的解决方案。如果没有，只需退出函数。

2. 如果您完成了一个列表，并且它加起来达到了您的目标，请打印出该列表并退出。

3. 对于每个有效的剩余选择，将其附加到您当前的解决方案，并使用当前解决方案和当前选择列表递归调用函数。 （您必须在 for 循环的下一次迭代中删除该选项）。

应该会生成它。

我以前写过很多次这种类型的代码，所以我很容易发布解决方案，但我认为这是家庭作业，所以我不打算这样做。然而，以上是对解决方案的相当完整的描述。让它变得简单的诀窍是使用递归解决方案 - 非递归解决方案将非常混乱，因为您需要使用堆栈等基本上模拟递归以获得有效的解决方案。