假设我有 1 个红球、1 个蓝球、2 个黄球和 3 个绿球，总共 7 个球。
我想从 7 个组中选择 3 个球。我有多少种方法可以做到这一点？
当我手动计数时，我得到了 11 个组合/组。即123 124 133 134 144 233 234 244 334 344 444
生成和显示所有这些组合/集合的有效方法是什么？
注意唯一性适用，所以(yellow, red, yellow) = (yellow, yellow, red)
【问题讨论】：
标签： combinations combinatorics
不过，我建议使用生成函数方法。
0,1
0,1
0,1,2
0,1,2,3
因此你想扩展以下多项式
(1 + x) * (1 + x) * (1 + x + x^2) * (1 + x + x^2 + x^3)
并查看x^3 的系数，因为您需要总共3 个球。
这将为您提供多种方法，以及获取系数的方法，从每个带括号的表达式中取一项，将告诉您如何进行组合。这是有效的，因为选择0 或1 红球与分别从第一个术语(1 + x) 中选择1 或x 相同，同样选择i 绿球意味着选择术语x^i从上个学期开始。然后选择的球的总数是指数的总和。既然你想要3 球，你应该看看这个多项式展开时x^3 的系数：
1 + 4x + 8x^2 + 11x^3 + 11x^4 + 8x^5 + 4x^6 + x^7
因此，给定集合中有11 可能的3 球组合。
要迭代可能性，您可以按顺序从表达式中选择一个术语：
int count = 0;
for (int r=0; r<=1 && r<=3; ++r) {
for (int b=0; b<=1 && r+b<=3; ++b) {
for (int y=0; y<=2 && r+b+y<=3 ; ++y) {
for (int g=0; g<=3 && r+b+y+g==3; ++g) {
count++;
printf(" red: %d\n blue: %d\nyellow: %d\n green: %d",r,b,y,g);
}
}
}
}
return count;
前两个 for 循环中的第二个条件（r<=3 和 r+b<=3）在本示例中是不必要的，但我将其保留以说明如何推广问题。
【讨论】：
generate_combinations(a1, a2, a3, a4, c1, c2, c3, c4)
1. if a1 + a2 + a3 + a4 = 3 then print (a1, a2, a3, a4)
2. else then
3. if c1 > 0 then generate_combinations(a1+1, a2, a3, a4, c1-1, c2, c3, c4)
4. if c2 > 0 then generate_combinations(a1, a2+1, a3, a4, c1, c2-1, c3, c4)
5. if c3 > 0 then generate_combinations(a1, a2, a3+1, a4, c1, c2, c3-1, c4)
6. if c4 > 0 then generate_combinations(a1, a2, a3, a4+1, c1, c2, c3, c4-1)
或者类似的东西。但是，这不会捕获重复项...不过，我想您可以添加更多逻辑来过滤掉它们。也许是后期处理？
一些澄清：这可以通过计算 (1) 手中的球和 (2) 袋子中的球来实现。它确保每种颜色的手+包=原创。用一开始空的手调用它，它会打印出你手中可以有三个球的所有方式。
如果您真的想确保算法只给出唯一的（而不是将其与算法结合使用以从列表中删除重复项），您可以确保不添加任何例如如果您已经添加了任何高阶球（即，如果 a2 > 0 且 a1 = 0，那么您不需要添加任何红球），则将红球添加到您的手上。
【讨论】：