MST 定理证明

Question

令 G = (V , E) 为包含环的带权无向连通图，令 e 为所有边中权重最大的边循环。我需要证明存在不包括 e 的 G 的最小生成树。

这个想法很直观，我可以在一个循环中展示它，由 3 个节点组成。但我不知道如何在任何周期中正式表明这一点。

Answer 1

假设存在与 e 的 MST。从中删除 e ，将树分成两部分。特别是，它将循环节点分成两个非空部分，称为 A 和 B。由于这些节点形成一个循环，因此 A 和 B 节点之间至少还有一条边，称为 f。比 MST-e+f 是一个权重小于 MST 的生成树。这意味着不可能有 MST 和 e。