形成山脉的方法数

Question

我正在研究加泰罗尼亚数字的应用：

形成一个“山脉”的方法的数量，其中 n 个上冲程和 n 个下冲程都保持在原线之上。

现在给定一个数字 n，找出山脉的数量。

public int countMountainRanges(int n) {

}

我们可以在这里使用什么逻辑或公式来获取输入n的方式数。

我尝试了公式 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，但在这种情况下它不起作用。

Answer 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2) 是第 n 个斐波那契数的公式。另一方面，第 n 个加泰罗尼亚数由 (2n choose n) / (n + 1) 给出。

public static int countMountainRanges(int n) {
    return choose(2 * n , n) / (n + 1);
}
private static int choose(int n, int k){
    int res = 1;
    k = Math.min(k, n - k);
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        res = res * (n - i) / (i + 1);
    }
    return res;
}