如何表示自然数以提供恒定时间加法？

Question

Cirdec's answer 回答了一个基本上不相关的问题，这让我想知道如何最好地表示具有恒定时间加法、减一和零测试的自然数。

为什么 Peano 算术不够好：

假设我们使用

data Nat = Z | S Nat

那么我们可以写

Z + n = n
S m + n = S(m+n)

我们可以在 O(1) 时间内计算 m+n，方法是将 m-r 借方（对于某些常量 r），每个 S 构造函数上添加一个到 n。要获得 O(1) isZero，我们需要确保每个 S 构造函数最多有 p 借方，对于一些常量 p。如果我们计算a + (b + (c+...))，这很有效，但如果我们计算((...+b)+c)+d，它就会崩溃。问题是借方在前端堆积。

一个选项

简单的方法是直接使用可连接列表，例如 Okasaki 描述的那些。有两个问题：

1. O(n) 空间并不理想。

2. 当我们不关心列表的顺序时，引导队列的复杂性是必要的（至少对我而言）并不完全清楚。

Answer 1

据我所知，Idris（一种非常接近 Haskell 的依赖类型纯函数式语言）以一种非常直接的方式处理了这个问题。编译器知道Nats 和Fins（上限Nats）并尽可能用机器整数类型和操作替换它们，因此生成的代码非常有效。但是，对于自定义类型（甚至是同构类型）以及编译阶段而言，情况并非如此（有一些代码示例使用 Nats 进行类型检查，导致编译时间呈指数增长，如果需要，我可以提供它们） .

对于 Haskell，我认为可以实现类似的编译器扩展。另一种可能性是制作可以转换代码的 TH 宏。当然，这两种选择都不容易。

Answer 2

我的理解是，在基本的计算机编程术语中，潜在的问题是您希望在恒定时间内连接列表。列表没有前向引用之类的作弊，例如，您不能在 O(1) 时间内跳到末尾。

您可以改用环，无论使用a+(b+(c+...)) 还是((...+c)+b)+a 逻辑，都可以在O(1) 时间内合并。环中的节点不需要双重链接，只需链接到下一个节点即可。

减法是删除任何节点，O(1)，测试零（或一）是微不足道的。然而，对 n > 1 的测试是 O(n)。

如果您想减少空间，那么在每个操作中，您可以合并插入或删除点的节点，并将剩余的权重更高。您执行的操作越多，表示就越紧凑！不过，我认为最坏的情况仍然是 O(n)。

Answer 3

我们知道自然数的有效加法有两种“极值”解决方案：

1. 内存效率高，自然数的标准二进制表示，使用 O(log n) 内存并需要 O(log n) 时间进行加法。 （另请参阅the Okasaki's book 中的“二进制表示”一章。）

2. CPU 效率高，仅使用 O(1) 时间。 （请参阅本书中的“结构抽象”一章。）但是，该解决方案使用 O(n) 内存，因为我们将自然数 n 表示为 n 份()。

   我还没有进行实际计算，但我相信对于 O(1) 数值加法，我们不需要 O(1) 的全部功能FIFO 队列，以同样的方式引导标准列表 [] (LIFO) 就足够了。如果您有兴趣，我可以尝试详细说明。

CPU 高效解决方案的问题是我们需要在内存表示中添加一些冗余，以便我们可以腾出足够的 CPU 时间。在某些情况下，可以在不影响内存大小的情况下添加这样的冗余（例如 O(1) 递增/递减操作）。如果我们允许任意树形状，例如在具有引导列表的 CPU 高效解决方案中，只需在 O(log n) 内存中使用too many tree shapes 来区分它们。

所以问题是：我们能否找到恰到好处的冗余量，这样亚线性内存量就足够了，并且我们可以实现O(1) 添加？我相信答案是否：

让我们有一个具有O(1)时间加法的表示+算法。然后让我们有一个 m 位大小的数字，我们将其计算为 2^k 个数字的总和，每个数字的大小为 ( mk)-位。为了表示我们需要（不管表示如何）最小 (mk) 位内存的每个和，所以在开始时，我们从（至少）(mk) 2^ k 位内存。现在，在每次添加 2^k 时，我们都可以执行恒定数量的操作，因此我们能够处理（理想情况下删除）总共 C 2^k em> 位。因此，最后，我们需要表示结果的位数的下限是 (m-k-C) 2^k 位。由于 k 可以任意选择，我们的对手可以设置 k=mC-1，这意味着总和将至少用 2^(mC- 1) = 2^m/2^(C+1) ∈ O(2^m) 位。所以自然数 n 总是需要 O(n) 位内存！