编程算法：寻找比赛的获胜者答案

【问题标题】：Programming algorithm: finding the winner of a competition编程算法：寻找比赛的获胜者
【发布时间】：2012-05-20 13:19:34
【问题描述】：

我将参加 OBI（巴西信息学奥林匹克，英语），我正在尝试过去几年的一些练习。但是我找不到这个练习的解决方案（我翻译了它，所以可能会有一些错误）：

巧克力大赛

Carlos 和 Paula 刚拿到一袋巧克力球。因为他们会吃一切都太快了，他们进行了比赛：

他们会一个接一个地交替进食（Paula 总是开始）。

每次只能吃 1 到 M 个丸子，M 由 Paula 的妈妈决定，所以他们不会窒息。

如果一个人轮到他/她吃 K 球，下一个不能吃 K 球。

不能按以上规则比赛的人输。

在下面的示例中，M = 5 和 20 个球，卡洛斯赢了：

Who plays        How many ate        Balls left

                                     20
Paula            5                   15
Carlos           4                   11
Paula            3                   8
Carlos           4                   4
Paula            2                   2
Carlos           1                   1

请注意，最后，卡洛斯无法吃掉 2 个球来获胜，因为宝拉在最后一回合吃了 2 个。但是保拉吃不到最后一个球，因为卡洛斯在最后一回合吃了1个，所以保拉不能打，输了。

两者都非常聪明并且发挥最佳。如果有一系列回合可以确保他/她的胜利独立于其他回合，那么他/她将玩这些序列。

任务：

你的任务是找出如果双方都发挥最佳，谁将赢得比赛。

输入：

输入只包含一个测试组，应该从标准输入（通常是键盘）读取。

输入有 2 个整数 N (2 ≤ N ≤ 1000000) 和 M (2 ≤ M ≤ 1000)，其中 N 为球数，M 为每圈允许的球数。

输出：

您的程序应该在标准输出中打印出包含获胜者姓名的一行。

例子：

Input:          Output:
5 3             Paula
20 5            Carlos
5 6             Paula

我一直在尝试解决这个问题，但我不知道如何解决。

可以在此处找到 C 中的解决方案：http://olimpiada.ic.unicamp.br/passadas/OBI2009/res_fase2_prog/programacao_n2/solucoes/chocolate.c.txt 但我无法理解算法。有人在另一个网站上发布了有关此问题的问题，但没有人回复。

你能解释一下算法吗？

这是程序的预期输出：http://olimpiada.ic.unicamp.br/passadas/OBI2009/res_fase2_prog/programacao_n2/gabaritos/chocolate.zip

【问题讨论】：

你的游戏听起来和Nim的游戏非常相似——也许玩完美游戏的算法也有助于理解这个游戏？
这可能需要去'Theoretical CS'论坛
你想用什么语言解决它？当涉及到这些问题时，我不是最聪明的人，但我发现使用调试器逐步完成一个简单的案例对于理解算法非常有帮助。 BRB - 我将尝试编写一个解决方案（到那时我猜有人会回答这个问题）
sarnold：我会阅读有关 Nim 的信息，看起来很有帮助。 Nathaniel：对不起，如果发错论坛了；这是我的第一篇文章。 Rob：问题并没有真正解决问题。 Olympiad 的网站上有一个解决方案（C 语言），但我看不懂算法。
感谢 sarnold，维基百科上的文章真的很有帮助。巧克力比赛与此处显示的游戏相同：en.wikipedia.org/wiki/…。我还没有测试解决方案，但我明天会测试它。

标签： algorithm

【解决方案1】：

假设我们有一个布尔函数 FirstPlayerWin (FPW)，它接受两个参数：剩下的巧克力数量 (c) 和最后一步 (l)，即上一轮采取的巧克力数量，第一轮为 0移动。当且仅当第一个在这种情况下上场的玩家保证获胜时，该例程才会返回 true。

基本情况是任何 l != 1 的 FPW(0, l) = false

否则，要计算 FPW(c, l)，FPW(c, l) 为真，如果对于任何 x

但是，存储此公式的条目将需要 N * M 个表条目，而您指出的解决方案仅使用 2N 个表条目。

这样做的原因是，如果 FPW(c, 0) 为真（如果在巧克力计数 c 处有任何移动可用，则第一个玩家获胜）但 FPW(c, x) 对于 x > 0 为假，FPW(c, y) for and y != x 必须为真。这是因为如果拒绝 x 移动会使玩家输掉，即玩家只能通过下 x 来获胜，那么当 y 被禁止时，移动 x 是可用的。因此，对于任何计数“c”，最多存储一个导致玩家输掉的禁止移动就足够了。因此，您可以重构动态规划问题，以便您拥有两个数组，而不是存储完整的二维数组 FPW(c, x)，一个存储值 FPW(c, 0)，另一个存储导致的单个禁止移动第一个输掉而不是赢的玩家（如果有的话）。

如何获得引用的 C 程序的确切文本留给读者作为练习。

【讨论】：

是的 - 如果我能在 10 处获胜，但最后一步是 7，那么 7 必须是唯一获胜的棋步，所以我不可能在 10 处获胜，除了最后一步移动是 5 - 不错。

【解决方案2】：

我认为这是动态编程中又一个隐蔽的练习。游戏的状态由两个量来描述：剩余的球数和上一步吃掉的球数。当剩余的球数

如果您已经计算出最多为 H 的所有球数的输赢情况，以及前一个玩家吃掉的所有可能的球数并将其写在表格中，那么您就可以计算出所有的答案球数最多为 H+1。一个有 H+1 个球和 k 个球在前一步吃掉的玩家会考虑所有的可能性 - 吃 i 个球，因为 i = 1 到 M，除了 k 的非法值，留下一个有 H+1-i 个球和前一个球的位置i的移动。他们可以使用表格给出最多 H 个球的输赢情况，尝试找到一个合法的 k 让他们获胜。如果他们能找到这样的值，那么 H+1/k 的位置就是胜利。如果没有，那就是损失，因此他们可以将桌子扩大到最多覆盖 H+1 个球，依此类推。

我还没有完成所有未注释的示例代码，但看起来它可能正在做这样的事情 - 使用像递归这样的动态编程来构建一个表。

【讨论】：