方阵的踪迹？答案

【问题标题】：The trace of square matrix?方阵的踪迹？
【发布时间】：2019-07-05 11:53:53
【问题描述】：

如果 A 是某个基的 nxn 矩阵 |b>。我们如何证明 A 的迹线实际上是对角线元素的总和？

我想了解为什么 Aii = 。

我知道酉矩阵可以将基转换为另一个像 U|b> = |b'>。这对理解trace的概念有帮助吗？

我不是物理学家，所以这可能对其他人来说很容易理解。

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是关于数学而不是直接关于编程/编码/编程工具/软件算法。

标签： matrix physics quantum-computing

【解决方案1】：

首先，我认为这个问题更适合Physics Stack Exchange 或Math Stack Exchange，因为您不是在问与编码相关的问题。

其次，轨迹实际上是defined，作为矩阵对角线元素的总和。

第三，你的另一个问题是关于内积和Dirac notation。狄拉克将<a| 称为“胸罩”，将|b> 称为“ket”。内积基本上是点积，但用于更高维空间。在物理学中，狄拉克符号是我们用来使量子系统的矩阵运算更简洁的简写。你会看到 bra's 和 ket's 用来表示波函数和自旋状态，然后内积是该状态下系统的能量和该状态的自旋。同样，这个问题确实更适合物理堆栈交换。

【讨论】：

【解决方案2】：

trace 的一个关键性质是 tr(BA) = tr(AB)，从定义中可以很容易地证明它是对角线元素的总和。如果改变基，矩阵 A 将变为 A~ = XAinv(X)。所以从上面的tr(A~) = tr(A)。另一种说法是，轨迹是对角线元素的总和，无论你选择什么基。

【讨论】：

【解决方案3】：

在给定的基础上，ket |i> 可以写成列向量，除了第 i^th 为 1 外，所有元素都为 0；同样，bra 可以写成一个行向量，除了第 i^th 为 1 之外，所有元素都为 0。

<i|A|i> = [Sum j][Sum k]<i|_j A_jk|i>_k
= [总和 j][总和 k] ∂_ij A_jk ∂_ki
= A_ii

【讨论】：