Q#中如何实现格罗弗的扩散算子？

Question

如题所示，如何在 Q# 中实现 Grover 的扩散算子？我知道它被定义为2 ⟨s|s⟩ - I，其中|s⟩ 是任意数量的量子比特的统一状态。这可以进一步定义为夹在一对 H 门之间的 Z0（称为 U0）门。我无法在量子原语和佳能文档中找到以 Grover、diff 等可能的名称开头的任何函数。

我不想使用函数AmpAmpByOracle，因为它是非常高级的实现，并不清楚我的理解。我想实现一个函数，它需要一个 oracle Uf（我不知道）和它需要的量子比特数（N），并通过简单地遵循Grover's Algorithm | Wikipedia 中给出的电路来执行 Grover 算法，并通过测量所有r = approx(2^(N/2)) 次迭代结束时的 N 个量子比特。

Answer 1

扩散操作有点棘手。我发现把它分解成碎片最容易：

1. 正如您所指出的，在 X 基中查看扩散操作要简单得多。如果将 H 应用于前后的每个量子位，则中间的均匀状态看起来像 000...0 状态。
2. 扩散运算（在 X 基础上）在 000...0 状态下为 -1，在所有其他基础状态上为恒等式 (+1)。第一步是挑出 000...0 状态；我可以使用多控制 X 门来做到这一点——除了我需要先将所有量子位从 0 翻转到 1（反之亦然），因为受控操作寻找 1，而不是 0。当然，在受控的 X 之后，我需要撤消翻转。
3. 要生成 -1，我可以从处于 |-> 状态的辅助开始，这样 X 会将其变为 -|->。
4. 完成所有操作后，我需要重置 ancilla，以便将其返回 |0> 状态。

这一切都变成了：

// register is the Qubit[] that we want to apply the diffusion operation to
using (ancillae = Qubit[1])
{
  let ancilla = ancillae[0];

  X(ancilla); // Puts the ancilla into the |1> state
  H(ancilla); // And now into the |-> state

  ApplyToEach(H, register);  // Put the register qubits into the X basis
  ApplyToEach(X, register);  // Flip 0->1 and 1->0
  (Controlled X)(register, ancilla);  // Do the controlled flip of the ancilla
  ApplyToEach(X, register);  // Undo the flip
  ApplyToEach(H, register);  // Undo the basis change

  H(ancilla); // Put the ancilla back into |1>
  X(ancilla); // And back to |0> so we can return it
}

这是未编译的代码，所以可能有一些错别字...