更改字符串的字母以获得最高分

Question

给定一个字符串，并且最多可以更改字符串中的 Q 个字母。您还将获得一个子字符串列表（每两个字符长），并带有相应的分数。字符串中子字符串的每次出现都会增加您的总分。可以达到的最高分数是多少？

字符串长度

---

例子：

字符串 = bpdcg

Q = 2

子字符串：

bz - 得分：2

zd - 得分：5

dm - 得分：7

ng - 得分：10

在此示例中，您可以将字符串中的“p”更改为“z”，将“c”更改为“n”，从而获得最高分数 b。因此，您的新字符串是“bzdng”，其得分为 2+5+10 = 17。

我知道给定一个已经改变了字母的字符串，可以使用字典匹配算法（例如 aho-corasick 或复杂度稍差的 Rabin Karp）在线性时间内检查分数。但是，尝试每两个字母替换将花费太长时间，然后检查将花费太长时间。

我认为另一种可能的方法是向后工作，从给定的子字符串构造理想的字符串，然后检查它是否与原始字符串最多相差两个字符。但是，我不知道如何做到这一点，即使可以做到，我认为也需要太长时间。

最好的方法是什么？

Answer 1

解决这个问题的一种有效方法是使用动态规划。

令 L 为以任意长度为 2 的评分子串开头的一组字母，以及一个特殊字母“*”，它代表除这些之外的任何其他字母。

让 S(i, j, c) 是字符串中可能的最大分数（直到索引 i），使用 j 替换，其中字符串以字符 c 结尾（其中 c 在 L 中）。

递归关系有点混乱（或者至少，我没有找到特别漂亮的公式），但这里有一些代码可以计算出可能的最大分数：

infinity = 100000000

def S1(L1, L2, s, i, j, c, scores, cache):
    key = (i, j, c)
    if key not in cache:
        if i == 0:
            if c != '*' and s[0] != c:
                v = 0 if j >= 1 else -infinity
            else:
                v = 0 if j >= 0 else -infinity
        else:
            v = -infinity
            for d in L1:
                for c2 in [c] if c != '*' else L2 + s[i]:
                    jdiff = 1 if s[i] != c2 else 0
                    score = S1(L1, L2, s, i-1, j-jdiff, d, scores, cache)
                    score += scores.get(d+c2 , 0)
                    v = max(v, score)
        cache[key] = v
    return cache[key]

def S(s, Q, scores):
    L1 = ''.join(sorted(set(w[0] for w in scores))) + '*'
    L2 = ''.join(sorted(set(w[1] for w in scores)))
    return S1(L1, L2, s + '.', len(s), Q, '.', scores, {})

print S('bpdcg', 2, {'bz': 2, 'zd': 5, 'dm': 7, 'ng': 10})

还有一些优化空间：

• 如果 j 变为负数，计算不会提前终止
• 当给定一个选择时，L2 的每个值都会被尝试，而只有可以完成 d 的评分词的字母才需要尝试。

总的来说，如果评分词中有k个不同的字母，则算法运行时间为O(QN*k^2)。通过上面的第二个优化，这可以减少到 O(QNw)，其中 w 是评分词的数量。