查找树的每个节点下的叶子数

Question

我有一棵树，用以下格式表示：

• nodes 是树中节点的列表，从顶部开始按高度顺序排列。高度为 0 的节点是节点的第一个元素。高度为 1 的节点（从左到右读取）是节点的下一个元素，依此类推。

• n_children 是一个整数列表，使得 n_children[i] = num 个节点的子节点[i]

例如给定一棵树，例如 {1: {2, 3:{4,5,2}}}，nodes=[1,2,3,4,5,2], n_children = [2,0, 3,0,0,0]。

给定一棵树，只遍历一次树，是否可以生成节点和n_children以及节点中每个节点对应的叶子数？

这样的表示是独一无二的吗？或者两棵不同的树是否有可能具有相同的表示？

Answer 1

对于第一个问题 - 创建给定树的表示：

我假设“给定的树”是指以节点对象的形式给出的树，每个都包含其值和对其子节点对象的引用列表。

我提出这个算法：

1. 从node=root开始。
2. 如果node.children 为空，则返回{values_list:[[node.value]], children_list:[[0]]}

3. 否则：

   3.1。构造两个列表。一个将被称为values_list，每个元素都应有一个值列表。另一个将被称为children_list 并且每个元素都应有一个整数列表。这两个列表中的每个元素将代表子树中以node 开头的级别，包括node 本身（将在步骤3.3 中添加）。

   所以values_list[1] 将成为node 的子节点的值列表，values_list[2] 将成为node 的孙节点的值列表。 values_list[1][0] 将是node 的最左边子节点的值。而values_list[0] 将是一个只有一个元素的列表，values_list[0][0]，这将是node 的值。

   3.2。对于node 的每个子节点（我们通过 node.children 引用）：

   3.2.1。从 (2.) 重新开始，子节点设置为 node，返回的结果将相应地分配回（当函数返回时）child_values_list 和 child_children_list。

   3.2.2。对于列表中的每个索引i（它们的长度相同），如果values_list[i] 中已经存在列表 - 将child_values_list[i] 连接到values_list[i] 并将child_children_list[i] 连接到children_list[i]。否则分配 values_list[i]=child_values_list[i] 和 children_list[i]=child.children.list[i]（这将是一个推送 - 添加到列表的末尾）。

   3.3。使node.value 成为新列表的唯一元素，并将该列表添加到values_list 的开头。使 node.children.length 成为新列表的唯一元素，并将该列表添加到 children_list 的开头。

   3.4。返回values_list和children_list

4. 当上面返回 values_list 和 children_list for node=root（从步骤（1）开始）时，我们需要做的就是连接列表的元素（因为它们是列表，每个树的一个特定级别）。连接列表元素后，生成的 values_list_concatenated 和 children_list_concatenated 将是所需的表示形式。

在上面的算法中，我们仅通过将步骤 (2) 设置为 node 来访问一个节点，并且对于我们访问的节点的每个子节点，我们只执行一次。我们从根节点开始，每个节点只有一个父节点 => 每个节点都被访问一次。

对于与每个节点关联的叶子数：（如果我理解正确 - 子树中的叶子数一个节点是它的根），我们可以添加另一个列表，它将是生成并返回：leaves_list。 在停止情况下（node 没有孩子 - 步骤（2））我们将返回 leaves_list:[[1]]。在步骤 (3.2.2) 中，我们将像其他两个列表的列表元素一样连接列表元素。在步骤 (3.3) 中，我们将对第一个列表元素 leaves_list[0] 求和，并将该总和作为新列表中的唯一元素，我们将添加到 leaves_list 的开头。 （类似于leaves_list.add_to_eginning([leaves_list[0].sum()])）

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对于第二个问题 - 这种表示是否唯一：

为了证明唯一性，我们实际上想证明该函数（我们称其为 rep 表示“表示”）在树木空间上保持独特性。即它是injection。正如您在链接的 wiki 中看到的那样，这足以表明存在一个函数（我们称其为 tre 表示“树”）给定一个表示返回一棵树，并且对于每棵树 t 它都持有tre(rep(t))=t。简而言之 - 我们可以创建一个方法，该方法接受一个表示并从中构建一棵树，对于每棵树，如果我们制作它的表示并通过该方法传递该表示，我们将得到完全相同的树。

让我们开始吧！

实际上，第一项工作——创建该方法（函数tre）已经由你完成——按照你解释表示的方式。但是让我们明确一点：

1. 如果列表为空，则返回空树。否则继续
2. 以values[0] 作为其值和n_children[0] 作为其子节点数创建根节点（尚未创建子节点）。
3. 启动列表索引i=1和级别索引li=1和级别元素索引lei=root.children.length和下一级元素累加器nle_acc=0
4. 而lei>0: 4.1。对于lei 次： 4.1.1。创建一个以values[i] 为值，n_children[i] 为子节点数的节点。 4.1.2.将新节点添加为级别li 中尚未填充的最左侧子节点（从最左侧向右遍历树到li 级别，并将新节点分配给尚未分配的第一个引用。我们知道上一层已经完成，所以li-1 层中的每个节点都有一个children.length 属性，我们可以检查每个节点是否填充了他们应该拥有的子节点数） 4.1.3。添加nle_acc+=n_children[i] 4.1.4。递增++i 4.2.分配lei=nle_acc（级别元素可以获取累加器为它收集的内容） 4.3.清除nle_acc=0（下一级元素累加器需要从头开始累加下一轮）

现在我们需要证明通过第一个算法，然后通过第二个算法（这里是这个）的任意树将与原来一样摆脱所有这些。

由于我不是试图证明算法的正确性（尽管我应该这样做），所以我们假设它们按照我的意图去做。即第一个按照您的描述编写表示，第二个从左到右逐级创建树，从表示中分配一个值和子级的数量，并根据这些填充子级引用进入下一个级别时的数字。

因此，每个节点都根据表示具有正确数量的子节点（这就是子节点的填充方式），并且该数字是从树中写入的（在生成表示时）。值也是如此，因此它与原始树是同一棵树。

证明实际上应该更加详尽和详细 - 但我想我现在就这样吧。如果需要详细说明，也许我会将其作为实际证明。