各种角度的正弦/余弦/正切[重复]答案

【问题标题】：Exact Sine/Cosine/Tangent of Various Angles [duplicate]各种角度的正弦/余弦/正切[重复]
【发布时间】：2013-04-05 12:56:25
【问题描述】：

有没有办法获得角度的确切正切/余弦/正弦（以弧度为单位）？

math.tan()/math.sin()/math.cos() 没有给出某些角度的精确值：

>>> from math import *
>>> from decimal import Decimal
>>> sin(pi) # should be 0
1.2246467991473532e-16
>>> sin(2*pi) # should be 0
-2.4492935982947064e-16
>>> cos(pi/2) # should be 0
6.123233995736766e-17
>>> cos(3*pi/2) # 0
-1.8369701987210297e-16
>>> tan(pi/2) # invalid; tan(pi/2) is undefined
1.633123935319537e+16
>>> tan(3*pi/2) # also undefined
5443746451065123.0
>>> tan(2*pi) # 0
-2.4492935982947064e-16
>>> tan(pi) # 0
-1.2246467991473532e-16

我尝试使用 Decimal()，但这也无济于事：

>>> tan(Decimal(pi)*2)
-2.4492935982947064e-16

numpy.sin(x) 和其他三角函数也有同样的问题。

或者，我总是可以创建一个带有值字典的新函数，例如：

def new_sin(x):
    sin_values = {math.pi: 0, 2*math.pi: 0}
    return sin_values[x] if x in sin_values.keys() else math.sin(x)

但是，这似乎是一种廉价的解决方法。还有其他方法吗？谢谢！

【问题讨论】：

当使用浮点数的有限长度表示时，没有办法精确表示无理数。三角函数的结果通常是不合理的，因此无法在数字计算机上准确地表示它们。您所看到的是浮点数的限制，如果对于您的问题而言，值不足以接近 0，您可能需要重新考虑如何解决它。
更重要的是，math.pi 不完全是 pi，所以即使 sin 是准确的，它也不会是 0。
这是由于浮点计算的限制。有几种方法可以解决这个问题。符号计算，适当调整精度等。如果你说你想要什么，可能会有解决方案。
这就是浮点的本质，你无法绕过它。即使是 dict 查找也只适用于某些情况。例如 (52*math.pi) / 52 != math.pi

标签： python math

【解决方案1】：

在计算机中存储 pi 的准确数值是不可能的。 math.pi 是可以存储在 Python 浮点数中的最接近 pi 的近似值。 math.sin(math.pi) 返回近似输入的正确结果。

为避免这种情况，您需要使用支持符号算术的库。例如，用 sympy：

>>> from sympy import *
>>> sin(pi)
0
>>> pi
pi
>>>

sympy 将对表示 pi 的对象进行操作，并可以给出准确的结果。

【讨论】：

对于大多数用例来说，这是一个很好的解决方案。如果你需要近似的数值，你可以得到它，但尽量避免这样做。
这可能就是你所说的死灵法，但这不足以解决你的问题吗？： import numpy as np from math import pi def sin(x): if x/pi == int( x/pi): return 0 elif x/pi != int(x/pi): return np.sin(x)
@DavidM.Sousa 这不是一个很好的解决方案，因为int((11*math.pi)/math.pi) 是 10。
@casevh 在这种情况下，它是 10 的事实无关紧要，因为 10 或 11 都会给出 0。 int((11*math.pi)/math.pi) 实际上是 int( 10.99999999999) 这自然是 10.

【解决方案2】：

当您处理不精确的数字时，您需要明确地处理错误。 math.pi（或numpy.pi）不完全是π，例如，它是最接近π 的56 位二进制有理数。而那个号码的sin不是0。

但它非常接近 0。同样，tan(pi/2) 不是无穷大（或 NaN），而是巨大的，asin(1)/pi 非常接近 0.5。

因此，即使算法在某种程度上是精确的，结果仍然不会是精确的。

如果您从未阅读过What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic，那么您现在应该阅读。

解决这个问题的方法是使用 epsilon-comparisons 而不是到处进行精确比较，并在打印出来时明确地四舍五入，等等。

使用decimal.Decimal 数字而不是float 数字使这更容易。首先，您可能会以十进制而不是二进制来思考，因此您更容易理解错误并做出有关错误的决定。其次，您可以在 Decimal 值上显式设置精度和其他上下文信息，而 float 始终是 IEEE 双精度值。

正确的方法是对您的算法进行全面的错误分析，适当地传播错误，并在需要的地方使用该信息。 simple 方法是只选择一些对您的应用程序“足够好”的显式绝对或相对 epsilon（以及无穷大的等价物），并在任何地方使用它。（您可能还希望使用适当的特定领域知识将某些值视为pi 的倍数，而不仅仅是原始值。）

【讨论】：