使用泰勒级数加速计算

Question

在数学中，Taylor series 对于使用小次数多项式获得函数的近似值很重要。

我想看看这样的近似值有何帮助，例如为了加快计算速度。让我们使用著名的泰勒级数：

log(1+x) = x + 0.5 * x^2 + (error term)

从道德上讲，计算 2 次多项式的值应该比计算 log 快​​得多。

因此有一个代码来测试这个：

import numpy, time

def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2
f = numpy.vectorize(f)  

s = time.time()
for i in range(100):
    x = numpy.random.rand(100000) 
    numpy.log(1 + x)
print time.time() - s          # 0.556999921799 seconds

s = time.time()
for i in range(100):
    x = numpy.random.rand(100000)
    f(x)
print time.time() - s          # arghh! 4.81500005722 seconds

为什么多项式法比实际对数慢10倍？我的预期正好相反。

PS：这道题大概在SO和math.SE中间。

Answer 1

使用 numpy 的矢量化操作几乎总是比在您自己的代码中尝试的任何优化都快。正如@Divakar 所提到的，vectorize 实际上只是编写 for 循环的一种便捷方式，因此您的代码将比 numpy 的本机代码慢。

用标准python代码替换numpy的优化例程表明你的方法速度差不多。

import math, numpy, time


def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2

x = numpy.random.rand(1000000)

s = time.time()
for num in x:
    math.log(1 + num)
print (time.time() - s  )  

s = time.time()
for num in x:
    f(num)
print (time.time() - s)      

结果：

1.1951053142547607
1.3485901355743408

逼近只是稍微慢一些，但求幂非常昂贵。将t ** 2 替换为t*t 可以带来很好的改进，并且近似值略优于python 的log

1.1818947792053223
0.8402454853057861

编辑：另外，由于这里的重要教训是优化的科学库几乎在一周中的任何一天都将胜过手动编码的解决方案，这是使用 numpy 的矢量化操作的泰勒级数近似，这是迄今为止最快的。注意唯一大的变化是vectorize没有在逼近函数上调用，所以默认使用numpy的向量化操作。

import numpy, time

def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2

x = numpy.random.rand(1000000)
s = time.time()
numpy.log(1 + x)
print (time.time() - s)

s = time.time()
x = numpy.random.rand(100000)
f(x)
print (time.time() - s  )

结果：

0.07202601432800293
0.0019881725311279297

你知道了，矢量化近似比 numpy 的矢量化 log 快一个数量级。

Answer 2

使用 Python+Numpy，它可能到处都进行了优化，因此不可能真正对 log(1+x) 和 x + 0.5 * x^2 进行基准测试。 所以我转向了 C++。

结果：

每次操作记录的时间：19.57 ns
对数的 2 阶泰勒展开的每次操作时间：3.73 ns

大概是 x5 倍！

---

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define N (1000*1000*100)
#define NANO (1000*1000*1000)

int main()
{
  float *x = (float*) malloc(N * sizeof(float));
  float y;
  float elapsed1, elapsed2;
  clock_t begin, end;
  int i;

  for (i = 0; i < N; i++) 
    x[i] = (float) (rand() + 1) / (float)(RAND_MAX);

  begin = clock();
  for (i = 0; i < N; i++) 
    y = logf(x[i]);
  end = clock();
  elapsed1 = float(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC / N * NANO;

  begin = clock();
  for (i = 0; i < N; i++) 
    y = x[i] + 0.5 * x[i] * x[i];  
  end = clock();
  elapsed2 = float(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC / N * NANO;

  std::cout << "Time per operation with log: " << elapsed1 << " ns\n";  
  std::cout << "Time per operation with order-2 Taylor epansion: " << elapsed2 << " ns";

  free(x);

}