用于计算 Pi 的加速莱布尼茨级数

Question

当我学习数学时，我读到了名为 Leibniz Series for Pi 的系列：

• 公式的图像： https://d2vlcm61l7u1fs.cloudfront.net/media%2F0ee%2F0eeaa57b-570b-4444-93bc-7bc2f4d83931%2FphpHCRPXf.png

所以我为它制作了一个程序，对这个系列的 n 项求和：

def leibniz(n):
    pi = 0
    for i in range(1,n+1):
        if(i % 2 == 0):
            pi -= 1 / (2*i - 1)
        else:
            pi += 1/(2*i - 1)
    pi = 4 * pi
    return pi

这段代码有效，但问题是它收敛到 Pi 非常缓慢。

• 所以我读到了不同的系列加速，基本上对我来说最好的是Euler Acceleration
• 收敛缓慢是因为我的版本是交替序列，即包含 (-1)^n。但我更困惑如何编程。

编辑：

我了解了香克斯变换并对其进行了编程

def accelrate(n,depth):
    if depth == 1:
        a = lebniez(n + 1)
        b = lebniez(n)
        c = lebniez(n-1)
        return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b) 
    a = accelrate(n + 1,depth - 1)
    b = accelrate(n,depth - 1)
    c = accelrate(n-1,depth - 1)
    return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b)

所以 htis 所做的是它递归地应用 Shanks 变换并继续加速系列。但现在的问题是，由于递归，它非常慢，如果增加深度，精度并没有提高。

这就是香克斯变换的低效吗

Answer 1

所以在考虑之后，我想出了在 My this shanks transformation 中减少缓存。

提升不大，但还是不错的。

这里是：

import functools as ft

@ft.lru_cache(maxsize=32)
def lebniez(n):
    pi = 0
    n = n + 1
    for i in range(1,n):
        if(i % 2 == 1):
            pi -= 1 / (2*i - 1)
        else:
            pi += 1/(2*i - 1)
    pi = abs(4 * pi)
    return pi

@ft.lru_cache(maxsize=128)
def accelrate(n,depth):
    if depth == 1:
        a = lebniez(n + 1)
        b = lebniez(n)
        c = lebniez(n-1)
    else:
        a = accelrate(n + 1,depth - 1)
        b = accelrate(n,depth - 1)
        c = accelrate(n-1,depth - 1)

    return (a*c - b*b)/(a + c - 2*b)

所以这个基础有助于使它更稳定。

接下来关于效率低下，原因是 Shanks 变换仅适用于这样的序列，其中 Error(n + 1) / Error(n) 的比率是一个常数。但是在再次应用 Shanks 变换后，这可能会导致效率低下