使函数对向量输入敏感答案

【问题标题】：Making a function sensitive for vector input使函数对向量输入敏感
【发布时间】：2014-03-20 09:04:34
【问题描述】：

这是我的数值方法课程。我正在努力理解 MATLAB 及其语法，但我是 100% 自学的，所以如果我的尝试看起来很荒谬，请多多包涵。

我写了这个非常简单的函数来近似数字 e

function e= calcEulerLimit(n)
e = (1 + 1./n).^n;
end

这是数字 e 的“基本”定义，使用从 n 到无穷大的方法。对于 MATLAB，我定义了以下向量（当我在后者中谈论 n 时，我总是指这个向量n）

n=[1:1:10]=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ]

并且输出工作正常，正如我预期的那样，当我在 MATLAB 中调用我的函数时，它对向量 n 输入很敏感。

>> calcEulerlimit(n)

ans =

    2.0000    2.2500    2.3704    2.4414    2.4883    2.5216    2.5465    2.5658    2.5812    2.5937

现在我想用泰勒方法做与上面完全相同的事情，使用无限求和公式来描述 e，这是我卡住的地方，下面的简单代码可以工作：

function e = calcEulerSum(n)
e=1;                % base-case, start variable
for i=1:1:n       % for loop with step size one
    e=e+1/factorial(i)
end
end

但是，当我想输入一个向量（例如 n）时，这个输入当然不起作用，它通过所有变量进行计算。

我尝试了另一个 for 循环和一个 while 循环，但 while 循环似乎永远不会终止：

function e = calcEulerSum3(n)
while n
e=1;
e = e + 1./cumprod(n);
end
end

使用cumprod(n) 获取我的向量n 的每个列元素的阶乘值。

【问题讨论】：

标签： matlab

【解决方案1】：

您正在尝试矢量化您的函数。您的标量解决方案有效，所以让我们看看它在增加 i 时的作用：

       e0 = 1;
i = 1: e(1) = e0 + 1/factorial(1)
i = 2: e(2) = e(1) + 1/factorial(2) = e0 + 1/factorial(1) + 1/factorial(2)
                                    = e0 + sum(1./factorial(1:2))
i = 3: e(3) = e(2) + 1/factorial(3) = ...
                                    = e0 + sum(1./factorial(1:3))
    ...
i = n: e(n) = e(n-1) + 1/factorial(n) = e0 + 1/factorial(1) + ... + 1/factorial(n)
                                      = e0 + sum(1./factorial(1:n))

那么你能想出一个通用表达式来计算给定n 的向量e 吗？ cumsum 函数会派上用场。

【讨论】：

感谢您的回答，我将阅读有关 cumsum 的信息，到目前为止，我在 for i=n, e=1, e= e + 1./factorial(n);这对我来说似乎很清楚，但我得到的输出是 2, 1.5, 1.1667, 1.0417 所以除了加法部分之外它似乎“有效”。
@Spaced: n 是一个向量。如果您使用for 循环，您可能需要对其进行索引：n(i)。您可能还需要将输出保存在向量中：e(i)。
参见我上面的伪代码示例。输出e 将是一个向量，对吧？你能计算出e的第一个元素吗？给定第一个元素，您现在可以计算第二个元素（i=2）吗？等等...您可以在for 循环中执行此操作，然后您可能会看到如何使用cumsum 在一行代码中实现所有这些。
基本情况是 1，第一个是 2，第二个是 2.5，这样它会收敛到 e。老实说，我不能仅从您的代码中看到 e 将成为一个向量，但我可以接受。我可以看到您首先引入了递归定义，然后在最后一行中您说它是基本元素加上所有 1/k 的总和！术语，这在数学上确实是正确的。所以例如 e=1; e= e+ sum(1./factorial(1:10)) 将导致正确答案 2.7183，但是是否可以告诉 Matlab 分别输出每个迭代？
例如，当我像这样计算函数（没有 for 循环）时 e=1; e= e + sum(1./factorial(1:n)) 其中 n 仍然是我定义的向量（如上面提到的问题 n= 1:10），那么输出将只是 2。如果我改为输入 e = e + sum(1./factorial(n))，我得到正确的结果 2.718，但我希望我的输出如上例所示：2、2.5、2.568 等等。

【解决方案2】：

for i=whatsoever,statement(i);end 对whatsoever 的每个元素执行语句。如果是单个数字，则在这个数字上，如果是向量/数组，则在它的每个元素上。

1:1:n 在现场创建一个从1 到n 的整数数组（1:n 也可以）。如果n 已经是一个包含要迭代的元素的向量，则可以直接使用它：for i=n。

但是，为什么您在第一个和第三个代码块中使用了操作的虚线版本，而不是您的第二个？因为你读过 MATLAB 的向量化？那么您似乎走在了正确的轨道上，但请记住，点矢量化是为了完全摆脱显式循环。

【讨论】：

非常感谢您的解释@arne.b 我正在阅读我可以在网上找到的所有 Matlab 手册，在第二个示例中，我将除以阶乘（i），这将始终是数字。但是，在第三个示例中，我将除以向量，并且我已经阅读过，在这种情况下，我必须使用 ./ 来指定逐元素除法。输出确实有效，但它不正确。我会尝试更好地理解它。
@horchler “减少显式循环的数量”怎么样？至少，如果之前有一个 for 循环，之后有一个 while 循环做同样的事情，那么就没有矢量化。 :-)
@arne.b：您的编辑版本要好得多（更精确/更谨慎）。我投票赞成您解释for 循环如何与向量一起使用。

【解决方案3】：

function e = calcEulerSum(n)
e=nan(1,length(n));                % initialize to nan
for j=1:length(n)                % for each element in the input
    e(j)=sum(1./factorial(0:n(j))); %each entry is computed in this step, one at a time
end

在这段代码中，每个近似值都被向量化了，但我没有看到一个简单的方法来向量化整个程序。也没有错误检查，比如确保 n 的元素是非负整数，或者 n 是向量而不是数组。

在原始示例中，while 永远不会终止，因为 n 永远不会改变。

这应该足以帮助您入门。

干杯！

【讨论】：