枚举路径的算法答案

【问题标题】：Algorithm to enumerate paths枚举路径的算法
【发布时间】：2012-09-02 12:16:27
【问题描述】：

假设你站在实线的 0 点。在每一步，您可以移动到左侧 l 个位置，也可以移动到右侧 r 个位置。您打算到达数字 p。另外，有些号码是不允许踩的。你想数一数你能做到这一点。提到的所有数字都是整数（当然，l 和 r 是正数）。什么是计算这个的好方法？

注意。你也可以在旅途中踩到 p 本身，所以在某些情况下答案是无限的。

【问题讨论】：

如果在点 0 r = 3，你可以步行到 1、2、3 还是只步行到 3？
你必须直接去r = 3。
如果有循环怎么办，例如在 0 r = 3，在 3 l = 3？事实上，如果有两种方法可以到达终点线，那么一定有一个循环
如果允许你踩到每一个数字，这很容易，因为答案要么是零，要么是无穷大。（取决于 l 和 r 的最大公约数是否整除 p）。
@robert: l 和 r 在整个旅程中都是固定的。答案可能是无限的。

标签： algorithm counting

【解决方案1】：

就像“L*x+R*y=P 有多少个整数 (x,y) 解”。

我相信有很多关于这个问题的文章。

【讨论】：

【解决方案2】：

这不是一道算法题，而是一道数学题。不过，这是解决方案。让我们假设您的数字 l 和 r 是正整数（它们都不是零）。

当且仅当方程r * x - l * y = p 具有非负整数解(x, y) 时，才存在解。该等式表示我们以任意顺序向右走x 次和向左走y 次这一事实。这个方程被称为Bézout identity，我们确切地知道它的解是什么样的。

如果gcd(r,l) 除以p，则存在整数解(x0, y0)，其他所有解的形式为x = x0 + k * r / gcd(l,r)、y = y0 + k * l / gcd(l,r)，其中k 贯穿整数。显然，如果k 大于-x0 * gcd(l,r) / r 和-y0 * gcd(l,r) / l，那么x 和y 是非负的，所以我们有无限多个解。

如果gcd(r,l) 不能整除p，则没有解，因为左侧总是能被gcd(l,r) 整除，而右侧则不能。

总而言之，您计算解决方案的算法如下所示：

if p % gcd(l,r):
    return Infinity
else:
    return 0

此时尝试枚举所有路径似乎毫无意义，因为那将是一个相当无聊的练习。对于每个非负解(x,y)，我们简单地列举了所有可能的排列方式，x 向右移动，y 向左移动。会有(x+y)!/(x! * y!) 这样的路径（在x+y 步骤中选择x 这将是向右移动）。

【讨论】：