RSA中的私钥如何解密c（加密消息）？

Question

我今天一直在研究RSA算法的概念，我是这么理解的。

生成密钥对 -

• 两个素数（例如 p1 = 53，p2 = 59）相乘以生成 n（将用作公共模数）
• 我们在 n 变量上使用 Euler 的 totient 函数并定义一个新变量 phi。
• 我们生成一个公共指数e，条件是它必须是小的奇数，不与我们的phi 变量共享因子。

• 私钥d是从这个公式生成的：

  或d = (k * (phi(n)) + 1) / e。

• 我们用数字替换变量并得到私钥：

  或d = (2 * (3016) + 1) / 3 = 2011

  我们替代 -

• k 和 2（据我所知，k 必须大于 0 且小于 phi(n)）

• phi(n) 和 3016（因为 p1 * p2 = 3127 和因为结果 是一个素数，我们很容易使用p1 和p2 得到它的phi。 (phi(n) = (p1-1) * (p2-1))

• e 与 3 的指数（因为它与 3016 不共享任何因数，并且是奇数）

使用公钥 -

之后我们可以分享我们的e 和n，因为计算机需要几十年才能从大n 获取私钥。

我们的通信器将消息编码为十六进制，然后将其转换为 base10 整数。 Communicator 还可以添加随机整数填充以进行保护。

当消息转化为数字时，对其进行模幂运算：

[![在此处输入图片描述][3]][3]

例如，如果数字中的消息是 89，如果我们对其进行模幂运算，我们将得到：

1394

问题 -

如果我们的通讯器向我们发送1394，它是加密的89 (89^3 * mod(59 * 53) = 1394)，我们如何使用我们的私钥自动解密此消息？是否有一些必须使用的特定公式？

非常感谢您的阅读。

Answer 1

给定：p = 53、q = 59、e = 3。

• n = p * q = 3127。
• phi(n) = (p-1) * (q-1) = 3016。
• lambda = LCM(p-1, q-1) = 1508。
• dPhi = ModInverse(e, phi(n)) = ModInverse(3, 3016) = 2011。
• dLambda = ModInverse(e, lambda) = ModInverse(3, 1508) = 503。
• 还有 CRT 参数（我们不会在这里使用）
  • dp = dLambda % (q - 1) = 503 % 58 = 35。
  • dq = dLambda % (p - 1) = 503 % 52 = 39。
  • inverseQ = ModInverse(q, p) = ModInverse(59, 53) = 9。

（https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse和https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm被用于ModInverse的制作）

请注意，dLambda 小于 dPhi。虽然最初的 RSA 论文使用基于 phi 的模型，但后来它被简化为基于 LCM 的模型。由于(p-1) 和(q-1) 都是偶数（因为p 和q 是素数！= 2）lambda 最终最多为phi / 2，从而为逆运算提供更小的模块化空间.

因此，假设我们正在执行原始/未填充的 RSA（因为此密钥太小而无法使用填充的 RSA）：

给定：m = 89。

c = m^e % n = 89^3 % 3127 = 704969 % 3127 = 1394。

m = c^d % n = 1394^503 % 3127 = 3.666e1581 % 3127 = ???.

相反，我们转到https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_exponentiation。

m = ModPow(1394, 503, 3127) => ModPow(1394, 0b0001_1111_0111, 3127):

• R：1，基数：(1394 % 3127) = 1394，指数：0b0001_1111_0111
• R：(1 * 1394) % 3127 = 1394，基数：(1394 * 1394) % 3127 = 1943236 % 3127 = 1369，指数：0b0000_1111_1011
• R: (1394 * 1369) % 3127 = 1908386 % 3127 = 916, 基础: (1369 * 1369) % 3127 = 1874161 % 3127 = 1088, e: 0b0111_1101
• R: (916 * 1088) % 3127 = 996608 % 3127 = 2222, 基础: (1088 * 1088) % 3127 = 1183744 % 3127 = 1738, e: 0b0011_1110
• R：2222，基础：(1738 * 1738) % 3127 = 3020644 % 3127 = 3089，e：0b0001_1111
• R: (2222 * 3089) % 3127 = 6863758 % 3127 = 3120, 基础: (3089 * 3089) % 3127 = 9541921 % 3127 = 1444, e: 0b0000_1111
• R: (3120 * 1444) % 3127 = 4505280 % 3127 = 2400, 基础: (1444 * 1444) % 3127 = 2085136 % 3127 = 2554, e: 0b0111
• R: (2400 * 2554) % 3127 = 6129600 % 3127 = 680, 基础: (2554 * 2554) % 3127 = 6522916 % 3127 = 3121, e: 0b0011
• R: (680 * 3121) % 3127 = 2122280 % 3127 = 2174, 基础: (3121 * 3121) % 3127 = 9740641 % 3127 = 36, e: 0b0001
• R: (2174 * 36) % 3127 = 78264 % 3127 = 89, 基础: (36 * 36) % 3127 = 1296 % 3127 = 1296, e: 0b0000
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