有限制的三边测量？

Question

我需要帮助解决一个问题，我在做一个小型机器人实验时遇到了这个问题，基本思想是每个小型机器人都有能力估计距离，从它们自己到一个物体，但是我得到的近似值太粗略了，我希望计算出更准确的值。

So：
输入：顶点列表(v_1, v_2, ... v_n)，顶点v_*（机器人）
输出：未知的坐标顶点v_*（对象）

每个顶点v_1 到v_n 的坐标都是众所周知的（通过调用顶点上的getX() 和getY() 提供），并且可以通过调用得到v_* 的近似范围； getApproximateDistance(v_*)，函数getApproximateDistance()返回两个变量变量，即； minDistance 和 maxDistance。 - 实际距离在这两者之间。

所以我一直在尝试获取v_* 的坐标，是使用三边测量，但是我似乎无法找到一个公式来进行有限制（下限和上限）的三边测量，所以这真的是我在找什么（数学还不够好，自己弄明白）。

注意：三角测量是替代方法吗？
注意：我可能很想知道一种方法，性能/准确性权衡。

数据示例：

[Vertex . `getX()` . `getY()` . `minDistance` . `maxDistance`]
[`v_1`  .  2       .  2       .  0.5          .  1  ]
[`v_2`  .  1       .  2       .  0.3          .  1  ]
[`v_3`  .  1.5     .  1       .  0.3          .  0.5]

图片展示数据：http://img52.imageshack.us/img52/6414/unavngivetcb.png

很明显v_1 的近似值可能比[0.5; 1] 更好，因为上述数据创建的图形是一个环的小切口（受v_3 限制），但是我该如何计算呢，并可能在该图中找到近似值（该图可能是凹的）？

这会更适合 MathOverflow 吗？

Answer 1

我会选择一种简单的离散方法。环的隐式公式很简单，如果多个环的数量很大，则可以使用基于扫描线的方法有效地计算多个环的交集。

为了通过快速计算获得高精度，一种选择可能是使用多分辨率方法（即首先以低分辨率开始，然后仅在接近有效点的高分辨率样本中重新计算。

我编写的一个小型 python 玩具可以在大约 0.5 秒内生成一个 400x400 像素的交叉区域图像（如果使用 C 完成这种计算，可以得到 100 倍的加速）。

# x, y, r0, r1
data = [(2.0, 2.0, 0.5, 1.0),
        (1.0, 2.0, 0.3, 1.0),
        (1.5, 1.0, 0.3, 0.5)]

x0 = max(x - r1 for x, y, r0, r1 in data)
y0 = max(y - r1 for x, y, r0, r1 in data)
x1 = min(x + r1 for x, y, r0, r1 in data)
y1 = min(y + r1 for x, y, r0, r1 in data)

def hit(x, y):
    for cx, cy, r0, r1 in data:
        if not (r0**2 <= ((x - cx)**2 + (y - cy)**2) <= r1**2):
            return False
    return True

res = 400
step = 16
white = chr(255)
grey = chr(192)
black = chr(0)
img = [black] * (res * res)

# Low-res pass
cells = {}
for i in xrange(0, res, step):
    y = y0 + i * (y1 - y0) / res
    for j in xrange(0, res, step):
        x = x0 + j * (x1 - x0) / res
        if hit(x, y):
            for h in xrange(-step*2, step*3, step):
                for v in xrange(-step*2, step*3, step):
                    cells[(i+v, j+h)] = True

# High-res pass
for i in xrange(0, res, step):
    for j in xrange(0, res, step):
        if cells.get((i, j), False):
            img[i * res + j] = grey
            img[(i + step - 1) * res + j] = grey
            img[(i + step - 1) * res + (j + step - 1)] = grey
            img[i * res + (j + step - 1)] = grey
            for v in xrange(step):
                y = y0 + (i + v) * (y1 - y0) / res
                for h in xrange(step):
                    x = x0 + (j + h) * (x1 - x0) / res
                    if hit(x, y):
                        img[(i + v)*res + (j + h)] = white

open("result.pgm", "wb").write(("P5\n%i %i 255\n" % (res, res)) +
                               "".join(img))

如果可用，另一个有趣的选项可能是使用 GPU。从一张白色图片开始，用黑色绘制，每个环的外部将在末端留下白色的交叉区域。

例如，使用 Python/Qt 进行此计算的代码很简单：

img = QImage(res, res, QImage.Format_RGB32)
dc = QPainter(img)
dc.fillRect(0, 0, res, res, QBrush(QColor(255, 255, 255)))
dc.setPen(Qt.NoPen)
dc.setBrush(QBrush(QColor(0, 0, 0)))
for x, y, r0, r1 in data:
    xa1 = (x - r1 - x0) * res / (x1 - x0)
    xb1 = (x + r1 - x0) * res / (x1 - x0)
    ya1 = (y - r1 - y0) * res / (y1 - y0)
    yb1 = (y + r1 - y0) * res / (y1 - y0)
    xa0 = (x - r0 - x0) * res / (x1 - x0)
    xb0 = (x + r0 - x0) * res / (x1 - x0)
    ya0 = (y - r0 - y0) * res / (y1 - y0)
    yb0 = (y + r0 - y0) * res / (y1 - y0)
    p = QPainterPath()
    p.addEllipse(QRectF(xa0, ya0, xb0-xa0, yb0-ya0))
    p.addEllipse(QRectF(xa1, ya1, xb1-xa1, yb1-ya1))
    p.addRect(QRectF(0, 0, res, res))
    dc.drawPath(p)

800x800 分辨率图像的计算部分大约需要 8 毫秒（我不确定它是硬件加速的）。

如果只计算交点的重心，则根本不需要内存分配。例如，“蛮力”方法只是几行 C

typedef struct TReading {
    double x, y, r0, r1;
} Reading;

int hit(double xx, double yy,
        Reading *readings, int num_readings)
{
    while (num_readings--)
    {
        double dx = xx - readings->x;
        double dy = yy - readings->y;
        double d2 = dx*dx + dy*dy;
        if (d2 < readings->r0 * readings->r0) return 0;
        if (d2 > readings->r1 * readings->r1) return 0;
        readings++;
    }
    return 1;
}

int computeLocation(Reading *readings, int num_readings,
                    int resolution,
                    double *result_x, double *result_y)
{
    // Compute bounding box of interesting zone
    double x0 = -1E20, y0 = -1E20, x1 = 1E20, y1 = 1E20;
    for (int i=0; i<num_readings; i++)
    {
        if (readings[i].x - readings[i].r1 > x0)
          x0 = readings[i].x - readings[i].r1;
        if (readings[i].y - readings[i].r1 > y0)
          y0 = readings[i].y - readings[i].r1;
        if (readings[i].x + readings[i].r1 < x1)
          x1 = readings[i].x + readings[i].r1;
        if (readings[i].y + readings[i].r1 < y1)
          y1 = readings[i].y + readings[i].r1;
    }

    // Scan processing
    double ax = 0, ay = 0;
    int total = 0;
    for (int i=0; i<=resolution; i++)
    {
        double yy = y0 + i * (y1 - y0) / resolution;
        for (int j=0; j<=resolution; j++)
        {
            double xx = x0 + j * (x1 - x0) / resolution;
            if (hit(xx, yy, readings, num_readings))
            {
                ax += xx; ay += yy; total += 1;
            }
        }
    }
    if (total)
    {
        *result_x = ax / total;
        *result_y = ay / total;
    }
    return total;
}

在我的 PC 上，可以用 resolution = 100 在 0.08 毫秒内（x=1.50000，y=1.383250）或 resolution = 400 在 1.3 毫秒内（x=1.500000，y=1.383308）计算重心。当然，即使是仅重心版本也可以实现双步加速。

Answer 2

我会从“最大/最小”切换到尝试最小化错误函数。这会让您解决Finding a point that best fits the intersection of n spheres 中讨论的问题，这比与一系列复杂形状相交更容易处理。 （如果一个机器人的传感器出现故障并给出一个不可能的值怎么办？这种变化通常仍然会给出合理的答案。）

Answer 3

不确定您的情况，但在典型的机器人应用程序中，您将定期读取传感器并处理数据。如果是这种情况，您会尝试根据嘈杂的数据来估计位置，这是一个常见问题。作为一种简单（不太严格）的方法，您可以获取现有位置并将其调整为朝向或远离每个已知点。将测量到的目标距离减去当前到目标的距离，将该增量（误差）乘以 0 到 1 之间的某个值，然后将您的估计位置向目标移动那么远。对每个目标重复。然后在每次获得一组新测量值时重复。乘数将产生类似低通滤波器的效果，较小的值将为您提供更稳定的位置估计，但对运动的响应较慢。对于距离，使用最小值和最大值的平均值。如果您可以对一个目标的范围设置更严格的界限，则可以将乘数增加到接近 1 的目标。

这当然是一个粗略的位置估计。数学家伙可能更严格，但也更复杂。解决方案绝对与相交区域和几何形状无关。