拟阵，独特的电路特性

Question

关于拟阵中电路的唯一性，参考这个注释： http://math.mit.edu/~goemans/18433S13/matroid-notes.pdf。在定理 4.1 的证明中，最后 2 句“由于 S 也是独立的，我们必须有 |X| = |S| 并且因为 e ∈ C1 - f，我们必须有 X = S + e - f ∈ I . 但这意味着 C2 ⊆ S + e - f = X 这是一个矛盾，因为 C2 是依赖的。”。谁能解释一下为什么“|S| = |X|”为什么“e ∈ C1 - f，我们必须有 X = S + e - f ∈ I。”？几个小时以来我都不知道它是怎么回事..

Answer 1

作者在第一页公理定义的下方没有证明就声明最大独立集都具有相同数量的成员。到 I2，如果你有两个不同大小的最大独立集合，你可以从较大的一个元素中取出一个元素并用它来增加较小的那个，这是矛盾的。 S 和 X 都是 S+e 的最大独立集，所以 |S| = |X|

X 是独立的，因为它是通过获取一个独立的集合 C1-f 并使其最大程度独立而创建的——因此仍然是独立的。 f 不是 X 的元素，因为这会在其中重新创建 C1，我们知道它是依赖的。但是总共只有 |S|+1 个元素可以使用，所以如果 |X|=|S|而X不包含f，它最多包含e。