在矩形矩阵上分而治之

Question

对于这个问题的含糊之处，我深表歉意，但我正在尝试确定一种方法来执行矩形矩阵 A 和 B 的分而治之乘法，使得 A = n x m 和 B = m x p

我做了一些阅读，Strassen 的方法看起来很有希望，但我无法确定如何在矩形矩阵上使用该算法。我看到有些人提到用零“填充”以使两个矩阵都成正方形，然后“取消填充”结果，但我不清楚取消填充阶段需要什么。

感谢您的建议！

Answer 1

结果矩阵将包含“添加”到操作数矩阵的所有项目的零。要返回您的矩形结果，您只需裁剪结果，即根据操作数的尺寸获取结果矩阵的左上角。

但是，仅在 n、m 和 p 非常接近的情况下，填充本身似乎是明智的。当这些不成比例时，您将进行大量零矩阵乘法。

例如，如果 n = 2m = p，Strassen 算法会将乘法划分为 7 个 m 大小矩阵的乘法。但是，其中 4 次乘法将涉及零矩阵，并且没有必要。

我认为有两种方法可以提高性能：

• 使用填充并记住矩阵的哪一部分被填充。然后对于每个乘法步骤，检查您是否没有乘以零矩阵。如果这样做，结果也将是一个零矩阵，无需计算。这将消除与填充有关的大部分成本。
• 不要使用填充。 NonSquare_Strassen：将矩形矩阵划分为正方形区域和余数。在方形区域运行 vanilla Strassen。在余数上再次运行 NonSquareStrassen。之后，结合这些结果。这个算法很可能比第一个更快，但并不完全容易实现。但是，其逻辑将与 Strassen 的方阵算法非常相似。

为了简单起见，我会选择第一个选项。

注意： 请记住，您也可以将 Strassen 的方法用于矩形矩阵，并且在特定矩阵大小以下，额外矩阵加法的 O(n^2) 成本变得更加重要，最好使用普通三次乘法来完成小尺寸。这意味着 Strassen 的方法对于非方阵仍然很容易实现。以上期望您已经实现了方阵算法。