嵌套for循环是否自动O（n ^ 2）？答案

【问题标题】：Is a nested for loop automatically O(n^2)?嵌套for循环是否自动O（n ^ 2）？
【发布时间】：2019-10-02 11:22:32
【问题描述】：

我最近被问到一个关于测试数独板有效性的面试问题。基本答案涉及for 循环。本质上：

for(int x = 0; x != 9; ++x)    
    for(int y = 0; y != 9; ++y)
        // ...

执行这个嵌套的for 循环来检查行。再次执行以检查列。为子方块再做一个，但那个更时髦，因为我们将 suoku 板划分为子板，所以我们最终会得到两个以上的嵌套循环，可能是三个或四个。

后来有人问我这段代码的复杂性。坦率地说，就我而言，董事会的所有单元都被访问了三遍，所以O(3n)。对我来说，我们有嵌套循环这一事实并不意味着这段代码自动成为O(n^2) 或even O(n^highest-nesting-level-of-loops)。但我怀疑这就是面试官所期望的答案......

换个说法，这两段代码的复杂度是多少：

for(int i = 0; i != n; ++i)
    // ...

和：

for(int i = 0; i != sqrt(n); ++i)
    for(int j = 0; j != sqrt(n); ++j)
        // ...

【问题讨论】：

标签： time-complexity

【解决方案1】：

您的一般直觉是正确的。让我们澄清一下 Big-O 表示法：

Big-O 为您的算法的最坏情况（时间）复杂度提供了一个上限，与 n（输入的大小）相关。本质上，它是衡量工作量如何随输入大小变化的指标。

当你说类似的话

棋盘的所有单元格都被访问了 3 次，所以 O(3n)。

您的意思是 n（您的输入的大小）是 板中单元格的数量，因此访问所有单元格三次确实是 O(3n)（其中是 O(n)) 操作。如果是这种情况，您将是正确的。
然而，通常当提到数独问题（或涉及一般网格的问题）时，n 被认为是每行/列中的单元格数（n x n 板）。在这种情况下，运行时复杂度将为 O(3n²)（实际上等于 O(n²)）。
将来，问面试官 n 是什么是完全有效的。

至于标题中的问题（嵌套的 for 循环是否自动 O(n^2)？）简短的回答是否。
考虑这个例子：

for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
    for(int j = 0 ; j < n ; j * 2) {
       ... // some constant time operation
    }
}

外部循环进行 n 次迭代，而内部循环进行 log2(n) 次迭代 - 因此时间复杂度将为 O(nlogn).

在您的示例中，在第一个示例中，您有一个进行 n 次迭代的 for 循环，因此（至少）O(n) 的复杂性（操作执行 n 的顺序次）。
在第二个中，你有两个嵌套的 for 循环，每个循环都进行 sqrt(n) 迭代，因此总运行时复杂度也为（至少）O(n)。第二个函数不会自动为 O(n^2)，因为它包含一个嵌套循环。正在执行的操作量仍然是相同的顺序 (n)，因此这两个示例具有相同的复杂性 - 因为我们假设两个示例的 n 相同。
这是启航回家的最关键点。要比较两种算法的性能，您必须使用相同的输入进行比较。在您的数独问题中，您可以用几种不同的方式定义n，而您所做的方式将直接影响问题的复杂性计算——即使工作量相同。

*注意 - 这与您的问题无关，但将来避免在循环条件中使用 !=。在第二个示例中，如果 log(n) 不是整数，则循环可能会永远运行，具体取决于语言及其定义方式。因此建议改用<。

【讨论】：

感谢您的回答。尽管如此，我还是忍不住觉得使用两个循环来限定循环内存是很奇怪/愚蠢/不诚实的 n^2 因为碰巧我们对内存的心理表征是一个方形的游戏板......我可以迭代在二维数组int a[10][10] 上使用单个循环：for(int i = 0; i != 100; ++i){ a[i / 10][i % 10];}。这是否突然使我的算法从O(n^2) 变为O(n)？我正在做完全相同的工作！
同样，这仅取决于您如何定义输入 n。当您首先考虑使用 Big-O 的动机时，它会变得更加清晰：当我们查看编码问题和一些解决方案时，我们想知道我们的解决方案时间对于更大的输入增加的速率。换句话说：它是如何扩展的。在您的示例中，如果您定义 n =10^2，您可以说您的算法是 O(n)，但它与将 n 定义为 10 并称其为 O(n^2) 有何不同？ 对于常见问题，n 以特定方式定义为惯例，以使讨论更容易和更有成效。

【解决方案2】：

这取决于你如何定义所谓的N。

如果棋盘的大小是N×N，那么是的，复杂度是O(N^2)。

但是如果你说，网格的总数是 N（即 board id sqrt(N)-by-sqrt(N)），那么复杂度是 O(N)，如果你是 3O(N)注意常数。

【讨论】：