一组线性点的有效最长算术级数答案

【问题标题】：Efficient Longest arithmetic progression for a set of linear Points一组线性点的有效最长算术级数
【发布时间】：2012-01-24 09:40:55
【问题描述】：

一组数的最长等差数列 {ab₁,ab₂,ab₃ ....ab_n} 被定义为子集 {bb₁,bb₂,bb₃ .... bb_{n} 使得 b_i+1 - b_i 是常数。}

我想将这个问题扩展到一组位于一条直线上的二维点。让我们定义 Dist(P₁,P₂) 是两个点之间的距离 P₁(X₁, Y₁) 和 P₂(X₂,Y₂) 在一行上为

Dist(P₁,P₂) = Dist((X₁,Y₁), (X₂,Y₂)) = (X₂ - X₁)^{2 sup> + (Y₂ - Y₁))²}

现在对于给定的一组点，我需要找到最大的算术级数，使得 Dist(P_i,P_i+1) 是恒定的，假设它们都是位于同一行（m & C 是常数）。

我研究了一下，但找不到比 O(n²) 更好的算法。

事实上，目前我正在做的事情是我正在维护一个字典说

DistDict=dict()

并说点在列表中定义为

Points = [(X1,Y1),(X2,Y2),....]

这就是我正在做的事情

for i,pi in enumerate(Points):
    for pj in Points[i+1:]:
         DistDict.setdefault(dist(pi,pj),set([])).add((pi,pj))

所以我最终得到了一本距离相等的点字典。所以我唯一要做的就是扫描找出最长的set。

我只是想知道这应该有一个更好的解决方案，但不知何故我想不出一个。我也看过几个类似的旧 SO 帖子，但我找不到比 O(n²) 更有效的东西。这是否是一个 NP Hard 问题，我们永远无法拥有更好的东西，或者如果没有，可以采取什么方法。请注意，我遇到了一篇声称高效的divide and conquer algorithm 的帖子，但无法从中脱颖而出。

在这方面有什么帮助吗？

注意*** 我标记这个 Python 是因为我比 Matlab 或 Ruby 更了解 Python。 C/C++/Java 也很好，因为我也精通这些 :-)

【问题讨论】：

如果你有 O(n^p) 算法，其中 p 是常数，那么这个问题不是 NP-hard 假设 P != NP

标签： c++ python algorithm math geometry

【解决方案1】：

总结一下：正如@TonyK 指出的那样，如果您假设这些点位于一条直线上，则可以将其简化为已经为discussed extensively here 的一维情况。该解决方案使用@YochaiTimmer 提到的快速傅立叶变换。

附加说明：这个问题几乎肯定不是 NP 难题，因为它有一个有效的 O(n log n) 解决方案，因此这意味着 P=NP。

【讨论】：

谢谢。我需要一些时间来完成它，看看我是否可以将这个概念扩展到三个均匀间隔的点之外。
它是O(n log n)，其中n 是极值点之间的距离（假设所有距离都是整数）。但是点数是O(n^2)。
只是想知道上述算法是否可以扩展到3点以上。我仍在对此进行头脑风暴。如果它的点数为 O(n^2)，我们使用它是否有任何优势，假设我提到的上述算法实际上是 O(n^2)，其中 n 是线性空间中的点数。

【解决方案2】：

你可以学习Fast Fourier Transform方法for multiplication.O(N log N)

你也许可以对你的问题做类似的事情。

【讨论】：

谢谢。可能需要一些时间来完成它。读完我会回来的。

【解决方案3】：

首先，您对距离的定义是错误的。你必须取平方根。其次，如果您知道所有点都位于一条直线上，则可以简单地忽略 y 坐标（除非直线是垂直的）或 x 坐标（除非直线是水平的）。然后它减少到您第一段中的问题。

【讨论】：

我知道距离的定义是错误的。我只是不想增加查找平方根的开销，这不会增加任何值，只是为了符合定义。其次，我可以去除 y 坐标，但这些点可能沿 X 或 Y 轴排列。此外，我只是不记得他们所说的距离平方这个词，所以只是为了方便而称它为距离。
抱歉，我之前的评论应该更详细一些。实际上这是一个更大问题的一部分，在平面上有一些点我必须以它们都是线性的方式进行分组，然后我必须弄清楚这一点。目前，我正在一次迭代中完成这两项工作。