使用恒定空间迭代所有互质对？答案

【问题标题】：Iterate all coprime pairs using constant space?使用恒定空间迭代所有互质对？
【发布时间】：2017-05-30 00:19:11
【问题描述】：

我可以按照维基百科上列出的三叉树算法生成所有互质数对： https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers

快点：

Start with two coprime branches: (2,1), (3,1), then iterate:
Branch 1: (2m-n,m)
Branch 2: (2m+n,m)
Branch 3: (m+2n,n)

但是，每生产一对（例如打印，或者不保存在内存中），使用的空间将增加三倍。

这可能是haskell中的一个解决方案： Generating sorted list of all possible coprimes

但我在 python 中寻找一些东西，它没有惰性求值或无限列表。

【问题讨论】：

请澄清：您想要与 Haskell 问题中相同的限制吗？ The first element in each pair must be less than the second. The sorting must be done in ascending order -- by the sum of pair's elements; and if two sums are equal, then by the pair's first element. 如果是这样，您想在算法中交换这些对。 Python 确实有无限的生成器，可能就像你的“无限列表”。您是想避免“增长三倍”的问题，还是只想要简单的 Python 代码？
“但我在 python 中寻找一些东西，它没有惰性求值或无限列表。” Python 有生成器（惰性生成值）和函数（尤其是在itertools) 会产生潜在的无限序列。
我不是在寻找 haskell 解决方案的限制，我应该这么说。无论懒惰/无限的术语如何，任何惯用的 python 解决方案都可以工作。

标签： python algorithm primes ternary-tree

【解决方案1】：

这使用对数空间，也许这样就足够了？它是线性时间（使用 O(k) 时间来产生前 k 对）。

def coprimes():
    yield (2, 1)
    yield (3, 1)
    for m, n in coprimes():
        yield (2*m - n, m)
        yield (2*m + n, m)
        yield (m + 2*n, n)

您可以在 David Eppstein 的这些文章中阅读有关此类自递归生成器的更多信息：

展示前 20 对的演示：

>>> pairs = coprimes()
>>> for _ in range(20):
        print(next(pairs))

(2, 1)
(3, 1)
(3, 2)
(5, 2)
(4, 1)
(5, 3)
(7, 3)
(5, 1)
(4, 3)
(8, 3)
(7, 2)
(8, 5)
(12, 5)
(9, 2)
(7, 4)
(9, 4)
(6, 1)
(7, 5)
(13, 5)
(11, 3)

演示第十亿对，这需要我的 PC 大约 4 分钟，而 Python 进程的内存使用量保持在任何 Python 进程至少需要我的 9.5 MB 基线。

>>> from itertools import islice
>>> next(islice(coprimes(), 10**9-1, None))
(175577, 63087)

【讨论】：

这更优雅，应该被接受！信息链接也。
是的，谢谢，这是一个优雅的解决方案，我不知道您可以使用迭代器来做到这一点。
美丽。我流下了喜悦的泪水。

【解决方案2】：

公认的 Haskell 解决方案的 Python 版本

def find_coprimes():
    l = 1
    while True:
        i = 2
        while i < l-i:
            if gcd(i, l-i) == 1:
                yield i, l-i
            i += 1
        l += 1

只买几个：

iterator = find_coprimes()
for i in range(10):
    print(next(iterator))

输出：

(2, 3)
(2, 5)
(3, 4)
(3, 5)
(2, 7)
(4, 5)
(3, 7)
(2, 9)
(3, 8)
(4, 7)

【讨论】：

【解决方案3】：

该问题没有说明生成的互质数对的条件（例如，其中一个数字是否在特定范围内？）。不过，我发现以下两个示例很有趣（都需要恒定空间）。

首先考虑Farey sequence，这里是Python 3中的一个例子：

a, b, c, d = 0, 1, 1, n
while c <= n:
    k = (n + b) // d
    a, b, c, d = c, d, k * c - a, k * d - b
    print(a, b)

它将枚举所有互素对 a, b 与 1

第二个例子是一种好奇心，使用基于Calkin–Wilf tree的想法，你可以无限地枚举所有互质数对。好吧，至少在数学上，在实践中你只受到你能够在内存中表示的数字的限制。无论如何，这是一个 Python 3 示例：

a, b = 0, 1
while True:
    a, b = b, 2*(a//b) * b - a + b
    print(a, b)

如果您想找到一些满足某些属性的有理数的示例，但您不知道界限，这可能会很方便。当然，您可以尝试所有可能的自然数对，但这会直接生成互质数对。

【讨论】：