如何解决这个算法问题 - Gopher 2

Question

我正在努力解决这个问题https://open.kattis.com/problems/gopher2:

摆脱了犬类威胁的地鼠家族必须面对一个新的 捕食者。

是 ????地鼠和????地鼠洞，每个洞都有不同的 (????,????) 坐标。一只鹰来了，如果一只地鼠没有到达一个洞 ？？？秒它很容易被吃掉。一个洞最多能救 一只地鼠。所有的地鼠都以相同的速度运行????。地鼠 家庭需要一种逃生策略，以尽量减少易受伤害的 > > 地鼠的数量。

t 最大限度地减少易受攻击的 gopher 的数量。

蛮力方法是找到每个地鼠可到达的所有可能的洞，然后找到所有不同的（地鼠，洞）对。

有更快的算法吗？

Answer 1

这可以表述为二分图上maximum cardinality matching problem 的一个实例。

让A 是一组地鼠，B 是一组孔。从地鼠a ∈ A到洞b ∈ B有一条边，如果它们之间的距离最大为s*v，即地鼠在可用时间内可以跑的最大距离。

解决方案由该图中边的最大尺寸子集组成，这样 (1) 每个a ∈ A 最多有一条边，(2) 每个b ∈ B 最多有一条边。约束表示每个地鼠只能去一个洞，每个洞只能适应一个地鼠的规则。 “易受攻击”的 gophers 的数量就是 gophers 的数量减去匹配中的边数。

该图需要 O(mn) 时间来构建，并且使用标准算法可以在 O(mn) 时间或更短的时间内找到最大基数匹配，例如Ford–Fulkerson，其中 m 是地鼠的数量，n 是孔的数量。

如果在线判断不够高效，您可以使用a more efficient algorithm 来查找匹配项，以及更有效的方法来查找图中的边，例如使用quadtree 在 O(n) 时间内查询哪些孔位于地鼠的距离 s*v 内。