在递归算法中计算运行时间

Question

练习递归和 D&C，一个常见的问题似乎是将数组：
[a1,a2,a3..an,b1,b2,b3...bn] 转换为 [a1,b1,a2,b2,a3,b3...an,bn]
我解决了它如下（startA是as的开始，startB是bs的开始：

private static void shuffle(int[] a, int startA, int startB){  
        if(startA == startB)return;  
        int tmp = a[startB];  
        shift(a, startA + 1, startB);  
        a[startA + 1] = tmp;  
        shuffle(a, startA + 2, startB + 1);  
    }  

    private static void shift(int[] a, int start, int end) {  
        if(start >= end)return;  
        for(int i = end; i > start; i--){  
            a[i] = a[i - 1];   
        }       
    }  

但我不确定运行时是什么。不是线性的吗？

Answer 1

令算法消耗的时间为T(n)，设n=startB-startA。

每次递归调用都会减少 1 次运行时间（startB-startA 每次调用会减少 1 次），所以运行时间是 T(n) = T(n-1) + f(n)，我们只需要弄清楚 f(n) 是什么。

每个调用的瓶颈是shift()操作，它从startA+1迭代到startB，意思是n-1迭代。

因此，算法的复杂度为T(n) = T(n-1) + (n-1)。

但是，这是一个已知的 Theta(n^2) 函数 (sum of arithmetic progression) - 并且算法的时间复杂度为 Theta(N^2)，因为初始 startB-startA 与 N 成线性关系（输入的大小）。