为什么 SARIMA 有季节性限制？

Question

原来的ARMA算法有如下公式：

在这里您可以看到，ARMA 需要 p + q + 1 个数字来计算。所以，没有任何问题，这很清楚。

但是谈到 SARIMA 算法，我无法理解一件事。 SARIMA 公式看起来像带有 exta 的 ARMA：

其中 S 是一个代表季节性周期的数字。 S 是常数。

所以，SARIMA 必须计算 p + q + P + Q + 1 个数。只是额外的 P + Q 数字。没有太多，如果 P = 1 和 Q = 2。

但如果我们使用的时间段太长，例如每天的时间序列为 365 天，SARIMA 就无法停止拟合。看看这个模型。第一个需要 9 秒才能适应，而第二个在 2 小时后还没有完成！

import statsmodels.api as sm

model = sm.tsa.statespace.SARIMAX(
    df.meantemp_box, 
    order=(1, 0, 2),
    seasonal_order=(1, 1, 1, 7)
).fit()

model = sm.tsa.statespace.SARIMAX(
    df.meantemp_box, 
    order=(1, 0, 2),
    seasonal_order=(1, 1, 1, 365)
).fit()

我无法理解。从数学上讲，这些模型是相同的——它们都采用相同的 p、q、P 和 Q。但是第二个要么学的时间太长，要么根本学不会。

我是不是搞错了？

Answer 1

首先，一个可能的解决方案：如果您使用的是 Statsmodels v0.11 或开发版，那么当您有较长的季节性影响时，您可以使用以下内容：

mod = sm.tsa.arima.ARIMA(endog, order=(1, 0, 2), seasonal_order=(1, 1, 1, 365))
res = mod.fit(method='innovations_mle', low_memory=True, cov_type='none')

主要限制是您的时间序列不能缺少条目。如果您缺少值，那么您需要在创建模型之前以某种方式估算它们。

此外，并非我们所有的结果功能都可供您使用，但您仍然可以打印带有参数的摘要、计算对数似然和信息标准、计算样本内预测以及进行样本外预测。

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现在解释一下问题所在：

问题在于，这些模型是通过将它们置于状态空间形式来估计的，然后应用卡尔曼滤波器来计算对数似然。 ARIMA 模型的状态空间形式的维数随着整个季节的周期数而快速增长 - 对于 s=365 的模型，状态向量的维数为 733。

卡尔曼滤波器需要将矩阵与该维度相乘，默认情况下，会为每个时间段的该维度矩阵分配内存。这就是为什么它需要永远运行（而且它也占用大量内存）。

对于上述解决方案，我们不是使用卡尔曼滤波器来计算对数似然，而是使用一种称为创新算法的方法来计算它。然后我们只运行一次卡尔曼滤波器来计算结果对象（这允许例如预测）。 low_memory=True 选项指示模型不要存储每个时间步的所有大维矩阵，cov_type=None 选项指示模型不要尝试计算模型参数的标准误差（这需要更多对数似然评估）。