cmath 和 numpy 都给出了 asin(10) 的“不正确”值

Question

我最近需要快速找到10的反正弦值。我决定用python帮我计算一下：

cmath.asin(10)

根据经验，我预计第四象限会出现结果（正实数 (pi/2) 和负虚数）。惊喜……它返回了第一象限的结果。我也尝试过 numpy.arcsin ......结果相同。虽然返回值的正弦值确实是 10，但我不认为这是反正弦函数的标准主值。

>>> import math
>>> import numpy as np
>>> z=cmath.asin(10)
>>> z
(1.5707963267948966+2.993222846126381j)
>>> cmath.sin(z)
(9.999999999999998+6.092540900222251e-16j)
>>> z2=np.arcsin(10+0j)
>>> np.sin(z2)
(10+6.092540900222253e-16j)

我使用 numpy 发现了同样的结果（如上所示）。

是否有一个 python 模块，我可以期望从中获取复杂值函数的标准主值（即遵循主分支切割）？或者，标准主值的概念是否过于流畅在这一点上期待一致性？

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• 通过 Wikipedia 页面 (https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions) 部分关于复数值的讨论，可以得出第四象限解决方案。

• PSU 数学家发表的一篇关于复数反三角函数的文章 (http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.413.5729&rep=rep1&type=pdf) 也是如此。

• Wolfram Alpha 给出了第四象限的解。

Answer 1

cmath 行为有点标准，因为它不仅限于 cmath 和 NumPy：它还符合 C 标准的附录 G 中推荐的行为（至少 C99以及后来），以及 William Kahan 在他的 paper“复杂基本函数的分支切割”中列出的定义，副标题为“无事生非的标志位”。

但我们在这里真正看到的是纯数学世界和浮点算术世界之间的另一个分歧。

上述“标准”行为特定于使用浮点算术执行的数学运算，特别是使用浮点算术格式，其中存在与“正零”不同（相等但不同）的“负零”值.这包括现在几乎无处不在的 IEEE 754 浮点标准。

cmath 中的分支切口与“标准”数学分支相匹配（例如，对于 asin，我们沿着正实轴从 1 到无穷大，沿着负实轴从 @987654328 @ 到负无穷大），并且像往常一样，实线的子区间 [-1, 1] 上的值与标准数学和 cmath 模块中通常的实数 asin 函数相匹配。鉴于此，远离分支切割的连续性迫使 cmath.asin 与所有地方的标准数学定义一致，除了可能在分支切割。

在数学上，要将asin 扩展到分支切割，您需要在每个切割上选择是“从上方连续”还是“从下方连续”，而asin 的通常选择是从下方连续在[1, inf) 上并从上方连续在(-inf, -1] 上，这将为您提供您所期望的asin(10) 的第四象限结果。但是，如果您使用 IEEE 754 浮点，则会出现另一种选择：在asin 的分支切割上，参数的虚部始终为零。您现在可以使用零的 符号 来确定您将参数解释为位于分支切口的哪一侧。所以我们得到例如：

>>> from cmath import asin
>>> asin(complex(10.0, 0.0))  # 'top' of the branch cut
(1.5707963267948966+2.993222846126381j)
>>> asin(complex(10.0, -0.0))  # 'bottom' of the branch cut
(1.5707963267948966-2.993222846126381j)

这类似于大多数语言中实值atan2 函数的工作方式：通常，atan2(0.0, -1.0) 被定义为pi，而atan2(-0.0, -1.0) 被定义为-pi；零的符号是用来区分的。从数学上讲，它有点作弊，但它在浮点域中具有一些不错的特性。例如，对于所有z，我们得到asin(z.conjugate()) 可以与asin(z).conjugate() 互换，包括所有浮点特殊情况。象限上的行为是明确定义的（如果您再次使用相关的零符号确定每个象限的成员资格）。

关于您关于提供“标准”值的 Python 模块的问题，我不知道有一个问题，尽管@hpaulj 在 cmets 中提到了 SymPy。或者您可以捏造零符号以强制以正确的方式解释值。