查找最多 1.5n 次比较的高/低数字的算法答案

【问题标题】：Algorithm to find high/low numbers with at most 1.5n comparisons查找最多 1.5n 次比较的高/低数字的算法
【发布时间】：2012-02-18 22:46:12
【问题描述】：

我一直在思考这个家庭作业问题。给定一个大小为 n 的数字数组，设计一个算法，通过最多 1.5n 次比较找到高值和低值。

我的第一次尝试是

int high=0
int low= Number.MaxValue //problem statement is unclear on what type of number to use
Number numList[0 . . n] //number array, assuming unsorted

for (i=0, i < n, i++) {
  if (numList[i] > high)
    high = numList[i]

  else if (numList[i] < low)
    low = numList[i]

}

我的问题是循环的每次迭代都有以下三种可能性之一：

发现低值 - 进行了 1 次比较
发现高值 - 进行了 2 次比较
均未找到 - 进行了 2 次比较

所以对于整个数组的遍历，最多可以进行 2n 次比较，这与问题最大要求 1.5n 次比较相差甚远。

【问题讨论】：

在这类问题中，最好的起始值是第一个元素。
@wildplasser，你的意思是用第一个元素值初始化高低吗？
是的。这样可以避免选择任意的 {lower,higher}-than-possible sentinel 值。 “空数组”的情况总是很特殊（它没有没有最低，最高）

标签： algorithm analysis

【解决方案1】：

从一对数字开始，找到局部最小值和最大值（n/2 比较）。接下来，从 n/2 个局部最大值（n/2 个比较）中找到全局最大值，同样从局部最小值（n/2 个比较）中找到全局最小值。比较总数：3*n/2 ！

For i in 0 to n/2: #n/2 comparisons
    if x[2*i]>x[2*i+1]:
        swap(x,2*i,2*i+1)

global_min = min( x[0], x[2], ...) # n/2 comparisons
global_max = max( x[1], x[3], ...) # n/2 comparisons

请注意，上述解决方案更改了数组。替代解决方案：

Initialize min and max
For i = 0 to n/2:
    if x[2*i]<x[2*i+1]:
        if x[2*i]< min:
            min = x[2*i]
        if x[2*i+1]> max:
            max = x[2*i+1]
    else:
        if x[2*i+1]< min:
            min = x[2*i+1]
        if x[2*i]> max:
            max = x[2*i]

【讨论】：

我基本上是用循环初始化器的变体来实现的。如果 n 是偶数，则循环从 i=2 开始，如果奇数 i=1。这将导致 (3(n-2)/2)+1 比较（如果是偶数）或 3(n-1)/2（如果是奇数）。

【解决方案2】：

我知道这个问题已经得到解答，但万一有人正在寻找另一种方式来思考这个问题。这个答案类似于Lester's，但可以处理奇数 n 值而不会中断，并且最多仍会进行 1.5n 次比较。秘密在于模数。 ;)

作为确保我们将最后一个值放置在正确子数组中的副作用，givenList 中的第二个元素将被比较并放置两次。然而，由于我们没有改变原始数组，我们只对集合的高低感兴趣，这并没有真正的区别。

Initialize lowArray and highArray
Initialize subArrayCounter to 0

For i = 0; i < n; i+=2
    X = givenList[i];
    Y = givenList[(i+1)%n];
    If(x < y)
        lowArray[subArrayCounter] = x;
        highArray[subArrayCounter] = y;
        subArrayCounter++;
    else
        lowArray[subArrayCounter] = y;
        highArray[subArrayCounter] = x;
        subArrayCounter++;

Initialize low to lowArray[0];
Initialize high to highArray[0];

For i = 1; i < lowArray.length; i++
    If(lowArray[i] < low)
        Low = lowArray[i];

For i = 1; i < highArray.length; i++
    If(highArray[i] > high)
        High = highArray[i]

【讨论】：

你应该解释一下什么这提供了其他方式。
谢谢内森！我在那里添加了。

【解决方案3】：

这与 ElKamina 的答案相同，但由于我已经开始编写伪代码，所以我想我会完成并发布它。

这个想法是比较对个值（n/2 次比较）以获得一个高值数组和一个低值数组。对于这些数组中的每一个，我们再次比较成对的值（2 * n/2 次比较）以分别获得最高和最低值。

n/2 + 2*n/2 = 1.5n comparisons

这是伪代码：

int[] highNumList;
int[] lowNumList;

for (i = 0, i < n, i+=2)
{
    a = numList[i];
    b = numList[i+1];
    if (a > b)
    {
        highNumList.Add(a);
        lowNumlist.Add(b);
    }
    else
    {
        highNumlist.Add(b);
        lowNumList.Add(a);
    }
}

int high = highNumList[0];
int low = lowNumList[0];

for (i = 0, i < n/2, i+=2)
{
    if (highNumList[i] < highNumList[i+1])
        high = highNumList[i+1]
    if (lowNumList[i] > lowNumList[i+1])
        low = lowNumList[i+1]
}

此代码不考虑 n 不偶数或初始数组为空。

【讨论】：

【解决方案4】：

这是我在一次面试中遇到的一个问题，我通过面试官的一个小提示找到了答案，“你如何比较两个数字？” （真的很有帮助）。

解释如下：

假设我有 100 个数字（您可以轻松地将其替换为 n，但如果 n 是偶数，则该示例效果更好）。我所做的是将它分成 50 个 2 个数字的列表。对于每对夫妇，我进行一次比较并且完成（现在进行了 50 次比较）然后我只需要找到最小值中的最小值（即 49 次比较）和最大值中的最大值（也是 49 次比较） ) 这样我们就必须进行 49+49+50=148 次比较。我们完成了！

备注：要找到最小值，我们按照以下步骤进行（伪代码）：

n = myList.size();
min = myList[0];
for (int i(1); i<n-1; i++)
{
    if (min>myList[i]) min = myList[i];
}
return min;

我们在 (n-1) 次比较中找到它。对于最大值，代码几乎相同。

【讨论】：