如何计算特定函数将在递归中执行的次数？

Question

这个问题参考以下代码：

cost = [[1, 10, 75, 92],
         [-1, 0, 35, 50],
         [-1, -1, 0, 80],
         [-1, -1, -1, 0]]

def min_cost(source, destination):
   if s==d or s == d-1:
       return cost[s][d]
    mc = cost[s][d]
    for i in range(s+1, d):
        tmp = min_cost(s, i) + min_cost(i, d)
    if tmp < mc:
        mc = tmp
return mc

当我进行相同的试运行时，我看到 min_cost(1,3) 被执行了两次。我在一本书中读到，作者提到如果我们之间有 10 个站，那么 min_cost(1, 3) 将运行 144 次。

我们如何在不实际进行试运行的情况下计算出这些数字？我知道使用递归方程我们可以计算出函数所花费的时间，但是我们怎么能说一个特定的函数会被执行这么多次呢？

Answer 1

当一个人使用递归时，有几个选项可以计算这个数量。最简单的方法是将另一个变量添加到递归方法中，该变量每次递归时都会增加，并且在返回它的最后一个语句中它不会增加，而只是返回最后一个数量，这将递归“返回”到上部请求。

伪代码示例：

function recursionfunction(x, y, recursioncount) {
    if(expressionIsFalse) {
        recursionfunction(x, y, recursioncount+1);
    } else {
        return recursioncount;
    }
}

print recursionfunction('','', 0);

另一种工作方式是通过引用、指针或全局变量（取决于编程语言）分配变量并递增该计数器。

这对您有帮助吗？

Answer 2

虽然我知道您不希望只计算调用次数，但我还是想先做，看看发生了什么。所以，这里是：

def min_cost(s, d):
    global count
    count += 1
    if s==d or s == d-1:
        return cost[s][d]
    mc = cost[s][d]
    for i in range(s+1, d):
        tmp = min_cost(s, i) + min_cost(i, d)
    if tmp < mc:
        mc = tmp
    return mc

for n in range (2, 8):
    cost = [[0 for i in range (n)] for j in range (n)]
    count = 0
    min_cost(0, n-1)
    print (str (n) + ': ' + str (count))

输出是：

2: 1
3: 3
4: 9
5: 27
6: 81
7: 243

所以，我们看到 d-s=k 的调用次数是 (k-1) 的 3 次方。 知道我们必须证明什么有时会大大简化寻找证明的过程。

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现在，证明本身。 它将是proof by induction。 首先，请注意min_cost(s, d) 的调用次数仅取决于d-s 的值，而不取决于s 和d 的单独值。

基础是，对于d-s=1，我们会接到一个电话。 对于d-s>1，我们拨打了一个电话，并从中进行了以下调用：

min_cost(s, s+1) and min_cost(s+1, d)
min_cost(s, s+2) and min_cost(s+2, d)
...
min_cost(s, d-1) and min_cost(d-1, d)

所以，对于d-s=k，调用f(k) 的次数为：

f(k) = 1 +
       f(1) + f(k-1) +
       f(2) + f(k-2) +
       ... +
       f(k-1) + f(1)
     = 2 * (f(1) + f(2) + ... + f(k-1))

如果通过归纳假设，我们已经证明对于所有 v v，那么 f(k) 是：
1 + 2 * (3¹ + 3² + ... + 3^k-1)，即trivially3^k，完成我们的证明。

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最后，请注意，虽然所提出的算法是指数的，但基本问题可以在多项式时间内解决，最简单的是通过记忆我们已经完成所有工作的调用在 O((ds)^2) 内解决。

Answer 3

我认为一个位于函数外部的全局变量（如果在 Java 中是类的成员，或者在 C++/C 中是全局变量）并且每次调用它时将其值增加一，就可以解决问题。