R中正支持函数的卷积

Question

我想要[0,Inf) 上定义的两个函数的卷积，比如说

f=function(x)
    (1+0.5*cos(2*pi*x))*(x>=0)

和

g=function(x)
    exp(-2*x)*(x>0)

使用R的积分功能我可以做到这一点，

cfg=function(x)
    integrate(function(y) f(y)*g(x-y),0,x)$value

通过搜索网络，似乎有更有效（和更准确）的方法（例如使用fft() 或convolve()）。有这种经历的大神能解释一下吗？ 谢谢！

Answer 1

convolve 或fft 解决方案将获得离散结果，而不是您在cfg 中定义的函数。他们可以在一些常规的离散输入上为您提供cfg 的数值解。

fft 仅用于周期性函数，因此无济于事。但是，convolve 有一种称为“打开”的操作模式，它模拟了 cfg 正在执行的操作。

请注意，使用type="open"，您必须反转第二个序列（请参阅?convolve，“详细信息”）。您还必须只使用结果的前半部分。这是c(2,3,5) 与c(7,11,13) 卷积结果的图示示例，由convolve(c(2,3,5), rev(c(7,11,13)), type='open') 执行：

             2  3  5       2  3  5   2  3  5    2  3  5      2  3  5
      13 11  7         13 11  7     13 11  7      13 11  7        13  11  7
 Sum:       14              43         94           94            65

请注意，评估前三个元素与您的集成结果相似。最后三个将用于反向卷积。

这是与您的功能的比较。你的函数，矢量化，用

绘制

y <- seq(0,10,by=.01)
plot(y, Vectorize(cfg)(y), type='l')

并使用以下代码绘制convolve 的应用程序。请注意，y 中每个单位间隔有 100 个点，因此除以 100 是合适的。

plot(y, convolve(f(y), rev(g(y)), type='open')[1:1001]/100, type='l')

这些不太一致，但卷积要快得多：

max(abs(Vectorize(cfg)(y) - convolve(f(y), rev(g(y)), type='open')[1:1001]/100))
## [1] 0.007474999

benchmark(Vectorize(cfg)(y), convolve(f(y), rev(g(y)), type='open')[1:1001]/100, columns=c('test', 'elapsed', 'relative'))
##                                                   test elapsed relative
## 2 convolve(f(y), rev(g(y)), type = "open")[1:1001]/100   0.056        1
## 1                                    Vectorize(cfg)(y)   5.824      104