这段代码在python中求解积分方程有什么问题

Question

我有以下积分方程：

我正在尝试求解积分方程以查看 f(u) 是否被预测为 cos(2u)。因为我们知道积分方程的解是 cos(2u)，所以我们可以将积分从 0 到无穷大逼近到极限 0，也就是说，如果我们使从 5 到无穷大的积分值可以忽略不计，则可以说 5，这可以通过选择小来完成。我为 0 到 5 之间的积分选择了 100 个评估点，这意味着我正在求解 100 个 f(u) 值。由于我需要求解 100 个 f(u) 值，因此我需要生成 100 个方程，因此需要 100 个时间 t 值。我在 1 到 1.3 之间为时间 t 选择 100 个值，因为这将确保积分对于 5 及以上的值可以忽略不计。以下是执行此操作的 scipy 代码：

from scipy import*
from matplotlib.pyplot import*


Nt_samples=100  #100 evaluation points for the time t
t=linspace(1.0,1.3,100)
number_eval_points=100  #100 evaluation points for u 

eval_points=linspace(0.005,5,number_eval_points)
delta=eval_points[1]-eval_points[0]
R=zeros(100,1)
R=0.5*sqrt(2*3.14)*t*exp(-2*t*t)
A=zeros((Nt_samples,number_eval_points))    

for i in range(100):
    for j in range(100):
        A[i,j]=delta*exp(-(eval_points[j]*eval_points[j])/(2*(t[i]*t[i])))


Z=cos(2*eval_points)
Fu=dot(linalg.inv(A),R)
plot(eval_points,Fu,eval_points,Z)

不知何故，我对 f(u) 的结果与 cos(2u) 相去甚远。 事实上，它们看起来像很多随机噪声，根本不遵循任何模式！此外，f(u) 的大小非常大。我试过玩弄评估点的数量和 t 的值，但我没有运气。

参数/逻辑的代码/设置有什么问题吗？

谢谢一百万！

Answer 1

这不是一个编程问题，但这里有一点：积分方程通常在数值上是不良条件的。

确实，就你而言，

u, s, vh = linalg.svd(A)
print(s.max()/s.min())
# -> 4.03758642411e+16

这是条件数，很大。矩阵A几乎是奇异的，所以解会有很大的误差。

谷歌搜索“Tikhonov 正则化”应该让您了解人们如何解决此类问题。求解积分方程是数学中的一个成熟领域，因此在这里谷歌搜索应该会对您有很大帮助。

快速正则化正在将linalg.inv(A) 替换为

linalg.pinv(A, 1e-8)

这给出了更余弦的外观。神奇的值1e-8 取决于积分内核，但是当事情是关于舍入误差时，可以尝试的好值大约是sqrt(finfo(float).eps)，这意味着您信任浮点数所具有的~15 位数字的一半。

此外，更改变量可能比截断u 到[0, 5] 的范围更好。您的情况下的数值问题可能与权重因子呈指数下降有关，因此通过改变变量来消除它也可能使条件数更好。