求数值积分的根

Question

我正在尝试用 Python 重现这个 Mathematica 程序：

它找到数值积分的根，并形成这些值的图。但是，我无法尝试运行。

当前尝试：

从 scipy.integrate 导入四边形 从 scipy 导入集成 从 scipy.optimize 导入 fsolve 将pylab导入为pl 将 numpy 导入为 np

# Variables.
boltzmann_const = 1.38e-23
planck_const = 6.62e-34
hbar = planck_const / ( 2 * np.pi )
transition_temp = 9.2
gap_energy_at_zero_kelvin = 3.528 / ( 2 * transition_temp * boltzmann_const )
debye_freq = ( 296 * boltzmann_const ) / hbar

# For subtracting from root_of_integral
a_const = np.log( ( 1.13 * hbar * debye_freq ) / ( boltzmann_const * transition_temp) )
# For simplifying function f.
b_const = ( hbar * debye_freq ) / ( 2 * boltzmann_const)


def f( coherence_length, temp ):
    # Defines the equation whose integral will have its roots found. Epsilon = coherence length. Delta = Gap energy.

    squareRoot = np.sqrt( coherence_length*coherence_length + gap_energy*gap_energy )
    return np.tanh( ( ( b_const / temp ) * squareRoot ) / squareRoot )


def integrate( coherence_length, temp ):
    # Integrates equation f with respect to E, between 0 and 1. 

    return integrate.quad( f, 0, 1, args = ( temp, ) )[0]


def root_of_integral( temp ):
    # Finds the roots of the integral with a guess of 0.01.

   return fsolve( integrate, 0.01, args = ( temp, ) )


def gap_energy_values( temp ):
    # Subtracts a_const from each root found, to obtain the gap_energy_values.

    return root_of_integral( temp ) - a_const

Answer 1

正如在 cmets 中已经提到的（@Hristo Iliev 和 @Pavel Annosov），quadreturns a tuple of stuff。如果您假设集成没有问题，就像您在 Mathematica 中所做的那样（虽然这不是一个好主意），那么在这个元组中，您只需要第一个元素，它应该是集成结果.

但这只会给你一个数字，而不是T的函数。要获得后者，您需要自己定义相应的函数，就像您在 Mathematica 中使用 \Delta[T_]:=... 所做的一样

以下几点可以帮助您入门：

def f(E, T):
    """To be integrated over T."""
    temp = np.sqrt(E * E + T * T)
    return np.tanh(1477.92 * temp) / temp


def gap(T):
    """Integration result: \Delta(T)"""
    return quad(f, 0, 1, args=(T, ))[0]  #NB: [0] select the 1st element of a tuple

请注意，您需要使用args=(T,) 语法将T 参数发送到正在集成的函数：quad 在函数的第一个参数上集成，并且它需要其他参数才能评估@ 987654330@.

现在您可以将此gap(T) 提供给fsolve、which also expects a function（更准确地说是callable）。

在更一般的层面上，您不应该使用玻尔兹曼常数、hbar 等数值（甚至 Mathematica 也会抱怨！）。相反，您应该做的是，您应该以无量纲形式编写公式：以能量单位测量温度（因此 k_B = 1）等，在积分中进行适当的替换，以便处理无量纲参数的无量纲函数 --- 和然后让电脑处理这些。

Answer 2

这一行：

integral = (integrate.quad(lambda E: np.tanh(1477.92*np.sqrt(E**2+x**2))/np.sqrt(E**2+x**2), 0, 1)

有不平衡的括号：

integral = integrate.quad(lambda E: np.tanh(1477.92*np.sqrt(E**2+x**2))/np.sqrt(E**2+x**2), 0, 1)

如果你分手会更容易看到，例如

x_values = arange(0.01, 0.1, 0.0001)

delta = []
for x in x_values:
    def fun(E):
        distance = np.sqrt(E * E + x * x)
        return np.tanh(1477.92 * distance) / distance

    integral = integrate.quad(fun, 0, 1)
    delta_val = fsolve(integral, 1e-23) - a
    delta.append(delta_val)

pl.plot(delta, x_values)