从频率表中高效计算均值和标准差

Question

假设我有以下频率表。

> print(dat)
V1    V2
1  1 11613
2  2  6517
3  3  2442
4  4   687
5  5   159
6  6    29

# V1 = Score
# V2 = Frequency

如何有效地计算平均值和标准差？ 产率：SD=0.87 MEAN=1.66。 按频率复制分数的计算时间太长。

Answer 1

我可能遗漏了一些东西，但这似乎工作得很快，甚至在频率列中替换了数百万：

dset <- data.frame(V1=1:6,V2=c(11613,6517,2442,687,159,29))
mean(rep(dset$V1,dset$V2))
#[1] 1.664102
sd(rep(dset$V1,dset$V2))
#[1] 0.8712242

Answer 2

平均很容易。 SD 有点棘手（不能再次使用 fastmean()，因为分母中有一个 n-1。

> dat <- data.frame(freq=seq(6),value=runif(6)*100)
> fastmean <- function(dat) {
+   with(dat, sum(freq*value)/sum(freq) )
+ }
> fastmean(dat)
[1] 55.78302
> 
> fastRMSE <- function(dat) {
+   mu <- fastmean(dat)
+   with(dat, sqrt(sum(freq*(value-mu)^2)/(sum(freq)-1) ) )
+ }
> fastRMSE(dat)
[1] 34.9316
> 
> # To test
> expanded <- with(dat, rep(value,freq) )
> mean(expanded)
[1] 55.78302
> sd(expanded)
[1] 34.9316

请注意，fastRMSE 会计算两次 sum(freq)。消除这一点可能会导致另一次轻微的速度提升。

基准测试

> microbenchmark(
+   fastmean(dat),
+   mean( with(dat, rep(value,freq) ) )
+   )
Unit: microseconds
                               expr    min      lq median     uq    max
1                     fastmean(dat) 12.433 13.5335 14.776 15.398 23.921
2 mean(with(dat, rep(value, freq))) 21.225 22.3990 22.714 23.406 86.434
> dat <- data.frame(freq=seq(60),value=runif(60)*100)
> 
> dat <- data.frame(freq=seq(60),value=runif(60)*100)
> microbenchmark(
+   fastmean(dat),
+   mean( with(dat, rep(value,freq) ) )
+   )
Unit: microseconds
                               expr    min     lq  median      uq     max
1                     fastmean(dat) 13.177 14.544 15.8860 17.2905  54.983
2 mean(with(dat, rep(value, freq))) 42.610 48.659 49.8615 50.6385 151.053
> dat <- data.frame(freq=seq(600),value=runif(600)*100)
> microbenchmark(
+   fastmean(dat),
+   mean( with(dat, rep(value,freq) ) )
+   )
Unit: microseconds
                               expr      min       lq    median       uq       max
1                     fastmean(dat)   15.706   17.489   25.8825   29.615    79.113
2 mean(with(dat, rep(value, freq))) 1827.146 2283.551 2534.7210 2884.933 26196.923

复制的解决方案似乎是 O( N^2 ) 在条目数上。

fastmean 解决方案似乎有 12 毫秒左右的固定成本，之后它可以很好地扩展。

更多基准测试

Comparison with dot product.

dat <- data.frame(freq=seq(600),value=runif(600)*100)
dbaupp <- function(dat) {
  total.count <- sum(dat$freq)
  as.vector(dat$freq %*% dat$value) / total.count
}
microbenchmark(
  fastmean(dat),
  mean( with(dat, rep(value,freq) ) ),
  dbaupp(dat)
)

Unit: microseconds
                               expr     min       lq   median       uq       max
1                       dbaupp(dat)  20.162  21.6875  25.6010  31.3475   104.054
2                     fastmean(dat)  14.680  16.7885  20.7490  25.1765    94.423
3 mean(with(dat, rep(value, freq))) 489.434 503.6310 514.3525 583.2790 30130.302

Answer 3

怎么样：

> m = sum(dat$V1 * dat$V2) / sum(dat$V2)
> m
[1] 1.664102
> sigma = sqrt(sum((dat$V1 - m)**2 * dat$V2) / (sum(dat$V2)-1))
> sigma
[1] 0.8712242

这里没有复制。

Answer 4

以下代码不使用复制，它尽可能使用 R 内置函数（尤其是对于点积），因此它可能比使用 sum(V1 * V2) 的解决方案更有效。 （编辑：这可能是错误的：@gsk3 的解决方案似乎比我的测试快 1.5 - 2 倍。）

平均值

均值（或期望）的定义是sum(n * freq(n)) / total.count，其中n 是“分数”，freq(n) 是n 的频率（total.count 就是sum(freq(n))）。分子中的总和恰好是频率分数的dot product。

R 中的点积是%*%（它返回一个矩阵，但在大多数情况下，这基本上可以在向量中处理）：

> total.count <- sum(dat$V2)
> mean <- dat$V1 %*% dat$V2 / total.count
> mean
         [,1]
[1,] 1.664102

标清

the end of this section of the Wikipedia article有一个公式，翻译成如下代码

> sqrt(dat$V1^2 %*% dat$V2 / total.count - mean^2)
          [,1]
[1,] 0.8712039