最低共同祖先

Question

给定完整二叉树中的两个节点（父 x 比子 2*x 和 2*x+1），我正在寻找最低共同祖先的恒定时间实现。

我的问题是树中有大量节点和很多查询。是否有一种算法可以进行预处理，以便可以在恒定时间内回答查询。

我查看了LCA using RMQ，但我无法使用该技术，因为我无法将数组用于树中的这么多节点。

知道它是完整的二叉树并且节点之间的关系如上所述。

我所做的是从两个给定节点开始，并依次找到它们的父节点 (node/2)，保留访问节点的哈希列表。当我们到达一个已经在哈希列表中的节点时，该节点将是最低的共同祖先。

但是当有很多查询时，这个算法非常耗时，因为在最坏的情况下，我可能必须遍历 30 的高度（树的最大高度）才能到达根（最坏的情况）。

Answer 1

如果你用二进制表示这两个索引，那么可以分两步找到 LCA：

1. 将较大的数字右移，直到前导 1 位在 与其他号码相同的位置。
2. 右移两个数字，直到它们相同。

第一步可以通过获取数字的以 2 为底的对数并将较大的数字右移差来完成：

if a>b:
    a = shift_right(a,log2(a)-log2(b))
else:
    b = shift_right(b,log2(b)-log2(a))

第二步可以通过对得到的两个数字进行异或运算并右移结果的对数基数 2（加 1）来完成：

if a==b:
    return a
else:
    return shift_right(a,log2(xor(a,b))+1)

可以在 O(log(word_size)) 时间内找到对数基数 2，因此只要您使用具有固定位数的整数索引，这实际上是恒定的。

有关计算对数基数 2 的快速方法的信息，请参阅此问题： Fast computing of log2 for 64-bit integers

Answer 2

编辑：-

在 O(log(logn)) 中获取 common_ancestor 的更快方法：-

int get_bits(unsigned int x) {
  int high = 31;
  int low = 0,mid;
  while(high>=low) {
    mid = (high+low)/2;
    if(1<<mid==x)
      return mid+1;
    if(1<<mid<x) {
      low = mid+1;
    }
    else {
      high = mid-1;
    }
  }
  if(1<<mid>x)
    return mid;
  return mid+1;
}

unsigned int Common_Ancestor(unsigned int x,unsigned int y) {

  int xbits = get_bits(x);
  int ybits = get_bits(y);
  int diff,kbits;
  unsigned int k;
  if(xbits>ybits) {
    diff = xbits-ybits;
    x = x >> diff;
  }
  else if(xbits<ybits) {
    diff = ybits-xbits;
    y = y >> diff;
  }
  k = x^y;
  kbits = get_bits(k);
  return y>>kbits;  

}

解释：-

1. 获取表示 x 和 y 所需的位，使用二进制搜索是 O(log(32))
2. x & y 二进制符号的共同前缀是共同祖先
3. 以较大的位数表示的那个被 k 带到同一位 >> diff
4. k = x^y 擦除 x & y 的公共前缀
5. 查找表示剩余后缀的位
6. 将 x 或 y 移动后缀位以获得共同前缀，即共同祖先。

示例：-

x = 12 = b1100 
y = 8  = b1000

xbits = 4
ybits = 4
diff = 0
k = x^y = 4 = b0100
kbits = 3
res = x >> kbits = x >> 3 = 1

ans : 1