确定绕圆运动的两点是接近还是分离的算法答案

【问题标题】：Algorithm to determine if two points moving around circle are approaching or separating确定绕圆运动的两点是接近还是分离的算法
【发布时间】：2018-11-26 05:54:25
【问题描述】：

我正在寻找一种算法来确定 2 个点 (p1, p2) 之间的距离，从它们之间的较小圆弧的角度来看，以已知速度绕圆移动是增加还是减少。

我知道 p1 和 p2 的位置（以度/弧度为单位）。
我知道两个物体的速度 (piV, p2V) 在一个统一的尺度上。
我知道 p1 和 p2 之间的短弧的绝对值，单位为度/弧度（始终为正值）。但是，如果它有帮助，我也可以知道短弧是负值还是正值，从 p1 的角度来看，当 p2 在后面（右）时它是负值，如果 p2 在前面（左），它是正值。李>
逆时针移动时速度为正，“逆行”（顺时针移动）时速度为负。

非常感谢任何帮助或指导。

赞！！：

感谢@beta 的评论，这促使我朝着正确的方向前进。我错过了我可以使用 p1 从 p2 的方向已知的事实（无需转换为其他坐标系）。答案很简单：

SIGN((p2V - p1V) * Angle) = (+ if separating, - when closing)

我将其简化为以下 C：

return ((p2V - p1V) * angle) > 0 ? 1 : -1;

如果使用带符号的分离角，如果 p2 从 p1 逆时针（左）为正，当 p2 从 p1 顺时针（右）时负，则此方法有效.

感谢大家的考虑和时间！

【问题讨论】：

idownvotedbecau.se/noattempt，例如类似于如果从 p2 到 p1 的弧为 speedP1 那么它们正在关闭。现在为其他组合编写逻辑。
我刚刚修改了 Rory 的问题。短弧始终称为正值或绝对值。
@andreas，我已经多次尝试用 C 来解决它，但是这些算法太复杂了，而且有太多的极端情况，无法在此处发布，而且并不真正相关。我希望有一个更优雅的解决方案，具有更好的三角/几何敏锐度的人可以指出我的方向。
如果您正在寻找“trig/geometry acumen”，您应该在 math.stackexchange.com 上询问
您知道 P1 领先还是落后于 P2，并且您知道哪个移动得更快。所以有四种情况需要考虑，或者你可以用 XOR 来做。有什么问题？

标签： algorithm math geometry trigonometry

【解决方案1】：

这个问题真正的挑战在于处理 180 度的极坐标奇点，所以我将跳过这个并改用向量数学，它的效率略低但更容易理解。希望其他更擅长模运算的人可以解决这个问题。

将角度位置转换为笛卡尔坐标：

(X, Y) = R * (cos θ, sin θ)

假设对象具有笛卡尔坐标P1, P2。介绍二维叉积：

A ^ B = Ax By - Ay Bx

如果 A 相对于 Be 顺时针旋转，则为正数，反之亦然。

假设物体的角速度为W1, W2，其中正号表示逆时针行进，这在极坐标中是常规的。

当对象 2 顺时针旋转 w.r.t.对象 1（P1 ^ P2 < 0，如图所示）：

如果W1, W2 > 0 和W2 > W1
或者，如果 W1, W2 < 0 和 -W1 > -W2
或者如果W1 < 0和W2 > 0

... 物体正朝着彼此移动；反之亦然，交换对象标签。将其编译为单个条件：

sign(W1 - W2) == sign(P1 ^ P2) != 0

顺便说一句，P1 ^ P2 = R^2 sin(θ2 - θ1) 使用触发标识，因此只需检查 sin(θ2 - θ1) 的符号即可。

编辑：事实证明，通过考虑正弦函数的行为，将条件减少到单个正弦项使模块化逻辑更加清晰 -

sign(P1 ^ P2) = sign(180 - [θ2 - θ1] % 360)

【讨论】：

是的，0/360 度的边界是让你很难弄清楚的原因之一。
@CliffRibaudo 是的，尽管将其减少到这个正弦项确实使它更容易一些；我会有另一个想法
@CliffRibaudo 我想出了一个可能的解决方案 - 让我知道它是否有效
@CliffRibaudo 这只是说明这两个表达式是等价的（至少我认为），您可以使用第二个表达式，因为它更有效。实际要检查的条件是sign(W1 - W2) == sign(P1 ^ P2) != 0 - 替换第二项。
@CliffRibaudo 1) ^ 是上面定义的二维叉积，而不是 XOR。 2) 是的 sign 和 sin 是不同的功能。 3）sign(P1 ^ P2) 是 笛卡尔 坐标（不是极角）的叉积的符号 - 我已经在我的回答中定义了从角度到笛卡尔的转换。

【解决方案2】：

将参考系移至p1。现在你有一个静态点p1 和p2 从位置p2-p1 开始以p2V - p1V 的速度移动。现在的问题是：p2 什么时候能命中原点？

不幸的是，这里有三种情况，取决于p2V - p1V的符号：

速度为零，点永远不会碰撞。
速度为正，表示p2 会绕圈转360度。
速度为负，表示p2会直奔原点，打到0度。

唯一的另一个问题是正确计算p2 - p1 的初始位置。我建议假设初始位置在 0 到 359 之间，然后相应地调整p2 - p1（如果是负数，则添加 360）。基本上，计算一切“模 360”。

【讨论】：