OpenGL中的投影矩阵真的是“投影矩阵”吗？答案

【问题标题】：Is the projection matrix in OpenGL really a "projection matrix"?OpenGL中的投影矩阵真的是“投影矩阵”吗？
【发布时间】：2015-11-01 08:45:35
【问题描述】：

投影矩阵将向量从高维空间投影到子空间。我本来希望 OpenGL 中的投影矩阵将 R³ 中的一个点投影到二维平面上。这似乎得到了互联网上大量文献的支持。许多网站暗示投影矩阵将 3D 世界投影到平面上，这就是绘制的内容。但是我觉得这些解释中的大多数都跳过了几个步骤。其中许多似乎相互矛盾，所以我想澄清一下我从自己的分析中得出的结论。

有人可以确认（或纠正错误）：

OpenGL 中的投影变换实际上不是投影矩阵，而是将一个点变换到剪辑空间（仍然是 R³ 域的一部分），然后实际投影到 2D 平面上稍后作为管道的固定功能。
投影矩阵不应用透视分割；但是它确实需要设置 w 坐标，以便稍后发生透视分割时（作为管道的固定函数）点正确放置在 NDC 内部或外部。
剪辑空间是 x,y 轴 (-1,+1) 和 z 轴 (n,f) 之间的框，而 NDC 是所有轴 (-1,+1) 之间的框.

我分析了以下投影矩阵得出上述结论：

[ 2n/(r-l)     0     (r+l)/(r-b)      0     ]
[    0     2n/(t-b)  (t+b)/(t-b)      0     ]
[    0         0    -(f+n)/(f-n) -2fn/(f-n) ]
[    0         0         -1           0     ]

从该分析中，我得出结论，截锥体内的任何点都将位于沿 x,y 轴的剪辑边界内；它可能位于沿 z 轴的边界之外，但是一旦发生透视分割（现在 w 是旧的 -z），该点将完全位于剪辑空间内。

由此我还得出结论，对于在 MVP 转换后可见的点，它的 x、y 和 z/w 坐标必须在 +/-1 之间，并且透视分割和实际投影发生在顶点着色器之后.

请仅针对现代 OpenGL（3.3 核心或更高版本）提供适用的答案。

【问题讨论】：

标签： opengl

【解决方案1】：

OpenGL 中的投影矩阵将点转换为剪辑空间。但这已经是一个预测。矩阵乘法之后唯一要做的就是透视除法。
是的
剪辑空间是每个轴上从 [-w 到 w] 的空间，因为剪辑空间和 NDC 之间发生的唯一操作是透视除法。 NDC 在每个轴上从 [-1 到 1]。

补充说明：

在数学上，OpenGL 投影矩阵将一个 4D 空间 (P^4) 映射到另一个 4D 空间（剪辑空间）。这可以通过矩阵的形式很容易地看出（4x4 矩阵映射 4D -> 4D）。使用透视划分，4D 剪辑空间通过均质化截断为 3D NDC (R^3) 空间。
当 x,y,z 坐标在 [-w, w] 之间时，投影后的点可见。裁剪发生在透视分割之前的原因是，NDC 不一定是立方空间（它在 OpenGL 中是一个，但在 DirectX 中，例如，NDC 是 [-1,1] 中的 x,y，[0, 1])
几何投影通常定义为从一个空间 (O) 到另一个空间 (T) 的映射 p。这将被写为

O --p--> T

在某些情况下，这样的映射可以用欧几里得空间中的变换矩阵来描述（例如，平行投影会起作用），但在很多情况下这是不可能的（尤其是在 O 中的平行线的情况下）在 T 中不再平行）。这就是为什么需要射影空间的原因。

我现在最好停下来，因为从数学的角度来看它变得越来越复杂，但是如果你想更深入地研究这个话题，我建议你阅读以下文章：

Wikipedia Projective Space
Wikipedia Projective Geometry
Video about projection in general (this, and the next one)

【讨论】：

【解决方案2】：

我想这在很大程度上取决于如何准确定义“投影”。维基百科对mathematical projections的介绍如下：

在数学中，投影是一组（或其他数学结构）转化为一个子集（或子结构），即等于其用于映射组合的平方（或者，换句话说，是幂等的）。

换句话说，应用两次投影不会进一步改变结果。很容易看出，如果将一个 3D 点投影到嵌入该空间中的任何 2D 平面，则该属性是完全填充的。

但是，用于在 3D 图形中渲染的典型“投影”矩阵不符合该标准。 “投影”一词使用得更宽松一些。我们实际上不希望将 3D 点投影到 2D 子空间，这样信息就会丢失。我们希望将深度信息保留在屏幕空间中，例如，以便能够进行深度测试。所以从概念上讲，即使在“透视划分”之后，我们仍然有一个 3D 空间。并且 GL 的窗口空间被明确定义为 3 维的，具有窗口空间 z 值。当然，只有 x 和 y 用于寻址颜色缓冲区中的像素，但是每个生成的片段都有它的 z 值。

我听说过将此类操作与上述严格的数学投影区分开来的术语是“透视变换”，从数学的角度来看，这可能更有意义。这些的好处是它们是可逆的（在一定程度上/由于透视鸿沟将相机后面的物体映射到它前面，但它们位于视锥体之外并且通常不构成一个问题）。

【讨论】：