从keras中的扩展张量制作输入特征图

Question

我在图像分类任务中使用了泰勒展开。基本上，首先，像素向量是从 RGB 图像生成的，并且来自像素向量的每个像素值将用sin(x) 的泰勒级数展开来近似。在 tensorflow 实现中，我尝试使用 tensorflow 对其进行编码，但当我尝试通过将张量与扩展项叠加来创建特征图时，我仍然遇到了一些问题。谁能提供可能的观点，我怎样才能使我目前的尝试更有效率？有什么可能的想法吗？

这里是泰勒级数sin(x)的展开项：

这是我目前的尝试：

term = 2
c = tf.constant([1, -1/6])
power = tf.constant([1, 3])

x = tf.keras.Input(shape=(32, 32, 3))
res =[]
for x in range(term):
    expansion = c * tf.math.pow(tf.tile(x[..., None], [1, 1, 1, 1, term]),power)
    m_ij = tf.math.cumsum(expansion, axis=-1)
    res.append(m_i)

但这不太有效，因为我想从每个扩展神经元创建输入特征图，delta_1、delta_2 需要堆叠，我在上面的尝试中没有正确完成，我的代码是也不好概括。如何以正确的实施方式改进上述编码尝试？谁能给我可能的想法或规范的答案来改进我目前的尝试？

Answer 1

如果按照描述进行级数展开，如果输入有 C 个通道并且展开有 T 项，则展开后的输入应该有 C*T 个通道，否则形状相同。因此，原始输入和近似于每个项的函数应该沿着通道维度连接。使用转置和重塑比实际连接更容易做到这一点。

以下是在 CIFAR10 上训练的卷积网络的示例代码：

inputs = tf.keras.Input(shape=(32, 32, 3))

x = inputs
n_terms = 2
c = tf.constant([1, -1/6])
p = tf.constant([1, 3], dtype=tf.float32)

terms = []
for i in range(n_terms):
    m = c[i] * tf.math.pow(x, p[i])
    terms.append(m)
expansion = tf.math.cumsum(terms)
expansion_terms_last = tf.transpose(expansion, perm=[1, 2, 3, 4, 0])
x = tf.reshape(expansion_terms_last, tf.constant([-1, 32, 32, 3*n_terms])) 

x = Conv2D(32, (3, 3), input_shape=(32,32,3*n_terms))(x)

这假设原始网络（没有扩展）将具有如下所示的第一层：

x = Conv2D(32, (3, 3), input_shape=(32,32,3))(inputs)

网络的其余部分与没有扩展时完全相同。

terms 包含原始的 c_i * x ^ p_i 列表； expansion 在单个张量（其中 T 是第一个维度）中包含项（第一个，然后是第一个和第二个等）的 sum。 expansion_terms_last 将 T 维度移动到最后，并且 reshape 将形状从 (..., C, T) 更改为 (..., C*T)

model.summary() 的输出如下所示：

__________________________________________________________________________________________________
Layer (type)                    Output Shape         Param #     Connected to                     
==================================================================================================
input_4 (InputLayer)            [(None, 32, 32, 3)]  0                                            
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_Pow_6 (TensorFlowOp [(None, 32, 32, 3)]  0           input_4[0][0]                    
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_Pow_7 (TensorFlowOp [(None, 32, 32, 3)]  0           input_4[0][0]                    
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_Mul_6 (TensorFlowOp [(None, 32, 32, 3)]  0           tf_op_layer_Pow_6[0][0]          
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_Mul_7 (TensorFlowOp [(None, 32, 32, 3)]  0           tf_op_layer_Pow_7[0][0]          
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_x_3 (TensorFlowOpLa [(2, None, 32, 32, 3 0           tf_op_layer_Mul_6[0][0]          
                                                                 tf_op_layer_Mul_7[0][0]          
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_Cumsum_3 (TensorFlo [(2, None, 32, 32, 3 0           tf_op_layer_x_3[0][0]            
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_Transpose_3 (Tensor [(None, 32, 32, 3, 2 0           tf_op_layer_Cumsum_3[0][0]       
__________________________________________________________________________________________________
tf_op_layer_Reshape_3 (TensorFl [(None, 32, 32, 6)]  0           tf_op_layer_Transpose_3[0][0]    
__________________________________________________________________________________________________
conv2d_5 (Conv2D)               (None, 30, 30, 32)   1760        tf_op_layer_Reshape_3[0][0]      

在 CIFAR10 上，该网络在扩展时训练得稍微好一些 - 准确率可能提高 1%（从 71% 到 72%）。

使用示例数据逐步解释代码：

# create a sample input
x = tf.convert_to_tensor([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], dtype=tf.float32) # start with H=3, W=3
x = tf.expand_dims(x, axis=0) # add batch dimension N=1
x = tf.expand_dims(x, axis=3) # add channel dimension C=1
# x is now NHWC or (1, 3, 3, 1)

n_terms = 2 # expand to T=2
c = tf.constant([1, -1/6])
p = tf.constant([1, 3], dtype=tf.float32)

terms = []
for i in range(n_terms):
    # this simply calculates m = c_i * x ^ p_i
    m = c[i] * tf.math.pow(x, p[i])
    terms.append(m)
print(terms)
# list of two tensors with shape NHWC or (1, 3, 3, 1)

# calculate each partial sum
expansion = tf.math.cumsum(terms)
print(expansion.shape)
# tensor with shape TNHWC or (2, 1, 3, 3, 1)

# move the T dimension last
expansion_terms_last = tf.transpose(expansion, perm=[1, 2, 3, 4, 0])
print(expansion_terms_last.shape)
# tensor with shape NHWCT or (1, 3, 3, 1, 2)

# stack the last two dimensions together
x = tf.reshape(expansion_terms_last, tf.constant([-1, 3, 3, 1*2])) 
print(x.shape)
# tensor with shape NHW and C*T or (1, 3, 3, 2)
# if the input had 3 channels for example, this would be (1, 3, 3, 6)
# now use this as though it was the input

关键假设 (1) c_i 和 p_i 不是学习参数，因此“扩展神经元”实际上不是神经元，它们只是一个乘和求和节点（虽然神经元听起来更酷：） (2) 每个输入通道独立进行扩展，因此 C 个输入通道扩展为 T 项，每个都产生 C*T 输入特征，但每个通道的 T 个特征是完全独立于其他通道计算的（看起来像图表），以及 (3) 输入包含所有部分和（即 c_1 * x ^ p_1、c_1 * x ^ p_1 + c_2 * x ^ p_2 等等）但不包含项（再次，看起来像在图中）